Question

¿Cuántos enteros positivos impares de $3$ dígitos que son múltiplos de $3$ no incluyen el dígito $3$ ?

How many $3$ -digit positive odd multiples of $3$ do not include the digit $3?$

$96$

$97$

$98$

$102$

$120$

Solución:

Escribe el número como $\overline{abc}.$ El dígito de las centenas $a$ tiene $8$ opciones ( $1,2,4,5,6,7,8,9$ ), y el dígito de las unidades $c$ tiene $4$ opciones ( $1,5,7,9$ ).

El dígito de las decenas $b$ puede ser cualquiera de $\{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}.$ Estos se reparten en tres clases de residuo módulo $3$ de igual tamaño $\{0,6,9\},\{1,4,7\},\{2,5,8\},$ así que exactamente $3$ opciones de $b$ hacen que $a+b+c$ sea divisible entre $3.$

El total es $8\cdot4\cdot3=96.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write the number as $\overline{abc}.$ The hundreds digit $a$ has $8$ choices ( $1,2,4,5,6,7,8,9$ ), and the units digit $c$ has $4$ choices ( $1,5,7,9$ ).

The tens digit $b$ may be any of $\{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}.$ These split into three residue classes mod $3$ of equal size $\{0,6,9\},\{1,4,7\},\{2,5,8\},$ so exactly $3$ choices of $b$ make $a+b+c$ divisible by $3.$

The count is $8\cdot4\cdot3=96.$

Thus, the correct answer is A.

2018 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años