Question

Las soluciones de la ecuación $(z+6)^8=81$ se conectan en el plano complejo para formar un polígono regular convexo, tres de cuyos vértices se marcan $A,$ $B,$ y $C.$ ¿Cuál es la menor área posible del $\triangle ABC$ ?

The solutions to the equation $(z+6)^8=81$ are connected in the complex plane to form a convex regular polygon, three of whose vertices are labeled $A,$ $B,$ and $C.$ What is the least possible area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{1}{6}\sqrt{6}$

$\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}$

$2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

$\sqrt{3}-1$

Solución:

Trasladando en $6,$ las soluciones de $z^8=81$ son ocho puntos sobre un círculo de radio $81^{1/8}=\sqrt3,$ que forman un octágono regular. El triángulo de área mínima usa tres vértices consecutivos.

Toma $A=\left(\tfrac12\sqrt6,\tfrac12\sqrt6\right),$ $B=(\sqrt3,0),$ y $C=\left(\tfrac12\sqrt6,-\tfrac12\sqrt6\right).$ Entonces $AC=\sqrt6$ y la altura es $\sqrt3-\tfrac12\sqrt6,$ así que el área es $\begin{gathered} \tfrac12\cdot\sqrt6\left(\sqrt3-\tfrac12\sqrt6\right) \\ =\tfrac{3}{2}\sqrt2-\tfrac{3}{2}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Translating by $6,$ the solutions of $z^8=81$ are eight points on a circle of radius $81^{1/8}=\sqrt3,$ forming a regular octagon. The minimum-area triangle uses three consecutive vertices.

Take $A=\left(\tfrac12\sqrt6,\tfrac12\sqrt6\right),$ $B=(\sqrt3,0),$ and $C=\left(\tfrac12\sqrt6,-\tfrac12\sqrt6\right).$ Then $AC=\sqrt6$ and the height is $\sqrt3-\tfrac12\sqrt6,$ so the area is $\begin{gathered} \tfrac12\cdot\sqrt6\left(\sqrt3-\tfrac12\sqrt6\right) \\ =\tfrac{3}{2}\sqrt2-\tfrac{3}{2}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años