Question

En la figura de abajo, se dibujan semicírculos con centros en $A$ y $B$ y con radios $2$ y $1,$ respectivamente, en el interior de, y compartiendo bases con, un semicírculo de diámetro $\overline{JK}.$ Los dos semicírculos más pequeños son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente al semicírculo más grande. Se dibuja un círculo con centro en $P$ tangente externamente a los dos semicírculos pequeños y tangente internamente al semicírculo más grande. ¿Cuál es el radio del círculo con centro en $P$ ?

In the figure below, semicircles with centers at $A$ and $B$ and with radii $2$ and $1,$ respectively, are drawn in the interior of, and sharing bases with, a semicircle with diameter $\overline{JK}.$ The two smaller semicircles are externally tangent to each other and internally tangent to the largest semicircle. A circle centered at $P$ is drawn externally tangent to the two smaller semicircles and internally tangent to the largest semicircle. What is the radius of the circle centered at $P?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{6}{7}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt3$

$\dfrac{5}{8}\sqrt2$

$\dfrac{11}{12}$

Solución:

El semicírculo grande tiene radio $3$ y centro $C,$ el punto medio de $\overline{JK}.$ Colocando $J$ en el origen, $A=2,$ $B=5,$ $C=3,$ $K=6$ a lo largo de la base. Sea $r$ el radio del círculo en $P.$

Por tangencia, $PA=2+r,$ $PB=1+r,$ y $PC=3-r.$ Trazando una perpendicular desde $P$ a la base en la posición horizontal $3+x$ con altura $h,$ el teorema de Pitágoras da $\begin{aligned} h^2 &=(2+r)^2-(1+x)^2 \\ &=(3-r)^2-x^2 \\ &=(1+r)^2-(2-x)^2. \end{aligned}$

Estas se reducen a dos ecuaciones lineales en $r$ y $x,$ cuya solución es $r=\dfrac{6}{7}$ (y $x=\dfrac{9}{7}$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The large semicircle has radius $3$ and center $C,$ the midpoint of $\overline{JK}.$ Placing $J$ at the origin, $A=2,$ $B=5,$ $C=3,$ $K=6$ along the base. Let $r$ be the radius of the circle at $P.$

By tangency, $PA=2+r,$ $PB=1+r,$ and $PC=3-r.$ Dropping a perpendicular from $P$ to the base at horizontal position $3+x$ with height $h,$ the Pythagorean theorem gives $\begin{aligned} h^2 &=(2+r)^2-(1+x)^2 \\ &=(3-r)^2-x^2 \\ &=(1+r)^2-(2-x)^2. \end{aligned}$

These reduce to two linear equations in $r$ and $x,$ whose solution is $r=\dfrac{6}{7}$ (and $x=\dfrac{9}{7}$ ).

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años