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2017 AMC 12A Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2017 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

En la figura de abajo, se dibujan semicírculos con centros en AA y BB y con radios 22 y 1,1, respectivamente, en el interior de, y compartiendo bases con, un semicírculo de diámetro JK‾.\overline{JK}. Los dos semicírculos más pequeños son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente al semicírculo más grande. Se dibuja un círculo con centro en PP tangente externamente a los dos semicírculos pequeños y tangente internamente al semicírculo más grande. ¿Cuál es el radio del círculo con centro en PP?

In the figure below, semicircles with centers at AA and BB and with radii 22 and 1,1, respectively, are drawn in the interior of, and sharing bases with, a semicircle with diameter JK‾.\overline{JK}. The two smaller semicircles are externally tangent to each other and internally tangent to the largest semicircle. A circle centered at PP is drawn externally tangent to the two smaller semicircles and internally tangent to the largest semicircle. What is the radius of the circle centered at P?P?

34\dfrac{3}{4}

67\dfrac{6}{7}

123\dfrac{1}{2}\sqrt3

582\dfrac{5}{8}\sqrt2

1112\dfrac{11}{12}

Respuesta: B
Conceptos:circunferencias tangentesTeorema de Pitágorasgeometría analítica
Nivel de dificultad: 1840
Pista pequeña:

Sea CC el centro del semicírculo grande; entonces PA=2+r,PA=2+r, PB=1+r,PB=1+r, PC=3−rPC=3-r

Let CC be the center of the large semicircle; then PA=2+r,PA=2+r, PB=1+r,PB=1+r, PC=3−rPC=3-r

Pista grande:

Traza una perpendicular desde PP a JK‾\overline{JK} e iguala las tres expresiones para el cuadrado de su altura

Drop a perpendicular from PP to JK‾\overline{JK} and set the three expressions for its squared height equal

Solución:

El semicírculo grande tiene radio 33 y centro C,C, el punto medio de JK‾.\overline{JK}. Colocando JJ en el origen, A=2,A=2, B=5,B=5, C=3,C=3, K=6K=6 a lo largo de la base. Sea rr el radio del círculo en P.P.

Por tangencia, PA=2+r,PA=2+r, PB=1+r,PB=1+r, y PC=3−r.PC=3-r. Trazando una perpendicular desde PP a la base en la posición horizontal 3+x3+x con altura h,h, el teorema de Pitágoras da h2=(2+r)2−(1+x)2=(3−r)2−x2=(1+r)2−(2−x)2. \begin{aligned} h^2 &=(2+r)^2-(1+x)^2 \\ &=(3-r)^2-x^2 \\ &=(1+r)^2-(2-x)^2. \end{aligned}

Igualar la primera expresión con la del medio da 5r−x=3,5r-x=3, mientras que igualar la última con la del medio da 2r+x=3.2r+x=3. Al sumarlas resulta 7r=6,7r=6, así que r=67.r=\dfrac{6}{7}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The large semicircle has radius 33 and center C,C, the midpoint of JK‾.\overline{JK}. Placing JJ at the origin, A=2,A=2, B=5,B=5, C=3,C=3, K=6K=6 along the base. Let rr be the radius of the circle at P.P.

By tangency, PA=2+r,PA=2+r, PB=1+r,PB=1+r, and PC=3−r.PC=3-r. Dropping a perpendicular from PP to the base at horizontal position 3+x3+x with height h,h, the Pythagorean theorem gives h2=(2+r)2−(1+x)2=(3−r)2−x2=(1+r)2−(2−x)2. \begin{aligned} h^2 &=(2+r)^2-(1+x)^2 \\ &=(3-r)^2-x^2 \\ &=(1+r)^2-(2-x)^2. \end{aligned}

Equating the first expression with the middle one gives 5r−x=3,5r-x=3, while equating the last expression with the middle one gives 2r+x=3.2r+x=3. Adding yields 7r=6,7r=6, so r=67.r=\dfrac{6}{7}.

Thus, the correct answer is B.

Problema 15#15
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