Question

¿De cuántas maneras se puede escribir $345$ como la suma de una sucesión creciente de dos o más enteros positivos consecutivos?

In how many ways can $345$ be written as the sum of an increasing sequence of two or more consecutive positive integers?

$1$

$3$

$5$

$6$

$7$

Solución:

La suma de enteros consecutivos es igual a la cantidad de términos por la mediana. Para un número impar de términos, la mediana es un divisor entero de $345,$ lo que da series de $3$ (mediana $115$ ), $5$ (mediana $69$ ), $15$ (mediana $23$ ), y $23$ (mediana $15$ ) términos. Para un número par de términos $2k,$ la mediana es un semientero, lo que da series de $2,$ $6,$ y $10$ términos. Series más largas obligarían a incluir términos negativos. Esto da $4+3=7$ maneras.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A sum of consecutive integers equals the count times the median. For an odd number of terms, the median is an integer divisor of $345,$ giving runs of $3$ (median $115$ ), $5$ (median $69$ ), $15$ (median $23$ ), and $23$ (median $15$ ) terms. For an even number of terms $2k,$ the median is a half-integer, giving runs of $2,$ $6,$ and $10$ terms. Longer runs would force negative terms. This gives $4+3=7$ ways.

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años