2012 AMC 12B Problema 16
A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 16 del 2012 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
Nivel de dificultad: 1840
16.
Amy, Beth y Jo escuchan cuatro canciones diferentes y comentan cuáles les gustan. Ninguna canción les gusta a las tres. Además, para cada uno de los tres pares de chicas, hay al menos una canción que les gusta a esas dos chicas pero no a la tercera. ¿De cuántas maneras diferentes es esto posible?
Amy, Beth, and Jo listen to four different songs and discuss which ones they like. No song is liked by all three. Furthermore, for each of the three pairs of the girls, there is at least one song liked by those two girls but disliked by the third. In how many different ways is this possible?
Solución:
Cada canción le gusta a exactamente uno de los tres pares, a una sola chica, o a nadie. Cada par debe estar representado.
Caso 1: cada canción le gusta a un par. Un par recibe dos de las cuatro canciones ( maneras, y opciones para cuál par), y los otros dos pares reciben una canción cada uno ( maneras). Esto da
Caso 2: tres canciones van a los tres pares (una cada uno) y la cuarta canción le gusta a una sola chica o a nadie. Asignar las cuatro canciones a estos cuatro roles da maneras, y el rol sobrante tiene opciones (Amy, Beth, Jo o nadie):
El total es
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Each song is liked by exactly one of the three pairs, by a single girl, or by no one. Every pair must be represented.
Case 1: every song is liked by a pair. One pair gets two of the four songs ( ways, and choices for which pair), and the other two pairs get one song each ( ways). This gives
Case 2: three songs go to the three pairs (one each) and the fourth song is liked by a single girl or no one. Assigning the four songs to these four roles gives ways, and the leftover role has options (Amy, Beth, Jo, or no one):
The total is
Thus, the correct answer is B.
El Problema 16 en otros años
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