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2024 AMC 12B Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2024 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Un grupo de 1616 personas se dividirá en 44 comités indistinguibles de 44 personas. Cada comité tendrá un presidente y un secretario. El número de maneras distintas de hacer estas asignaciones puede escribirse como 3rM,3^r M, donde rr y MM son enteros positivos y MM no es divisible entre 3.3. ¿Cuánto vale rr?

A group of 1616 people will be partitioned into 44 indistinguishable 44-person committees. Each committee will have one chairperson and one secretary. The number of different ways to make these assignments can be written as 3rM,3^r M, where rr and MM are positive integers and MM is not divisible by 3.3. What is r?r?

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Respuesta: A
Conceptos:principio de multiplicaciónFórmula de Legendre
Nivel de dificultad: 1860
Pista pequeña:

El número de asignaciones es 16!(4!)4 4!⋅124,\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!} \cdot 12^4, donde cada comité aporta 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 elecciones de presidente y secretario.

The number of assignments is 16!(4!)4 4!⋅124,\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!} \cdot 12^4, where each committee contributes 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 chair-and-secretary choices

Pista grande:

Sigue solo las potencias de 3:3: 16!16! da 36,3^6, el denominador (4!)4 4!(4!)^4\,4! da 35,3^5, y 12412^4 da 343^4

Track only powers of 3:3: 16!16! gives 36,3^6, the denominator (4!)4 4!(4!)^4\,4! gives 35,3^5, and 12412^4 gives 343^4

Solución:

El número de maneras de dividir 1616 personas en 44 grupos indistinguibles de 44 es 16!(4!)4 4!.\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}. Cada comité elige luego un presidente y un secretario de 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 maneras, aportando 124.12^4. Así que el total es 16!(4!)4 4!⋅124.\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4.

Contando los factores de 3:3: 16!16! aporta ⌊163⌋+⌊169⌋=6.\lfloor \frac{16}{3}\rfloor + \lfloor \frac{16}{9}\rfloor = 6. El denominador (4!)4 4!(4!)^4\,4! aporta 4+1=5.4 + 1 = 5. Y 124=(22⋅3)412^4 = (2^2\cdot 3)^4 aporta 4.4. Así r=6−5+4=5.r = 6 - 5 + 4 = 5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The number of ways to split 1616 people into 44 indistinguishable groups of 44 is 16!(4!)4 4!.\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}. Each committee then chooses a chairperson and a secretary in 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 ways, contributing 124.12^4. So the total is 16!(4!)4 4!⋅124.\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4.

Counting factors of 3:3: 16!16! contributes ⌊163⌋+⌊169⌋=6.\lfloor \frac{16}{3}\rfloor + \lfloor \frac{16}{9}\rfloor = 6. The denominator (4!)4 4!(4!)^4\,4! contributes 4+1=5.4 + 1 = 5. And 124=(22⋅3)412^4 = (2^2\cdot 3)^4 contributes 4.4. Thus r=6−5+4=5.r = 6 - 5 + 4 = 5.

Thus, the correct answer is A.

Problema 15#15
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