Question

Un grupo de $16$ personas se dividirá en comités indistinguibles de $4$ personas. Cada comité tendrá un presidente y un secretario. El número de maneras distintas de hacer estas asignaciones puede escribirse como $3^r M,$ donde $r$ y $M$ son enteros positivos y $M$ no es divisible entre $3.$ ¿Cuánto vale $r$ ?

A group of $16$ people will be partitioned into indistinguishable $4$ -person committees. Each committee will have one chairperson and one secretary. The number of different ways to make these assignments can be written as $3^r M,$ where $r$ and $M$ are positive integers and $M$ is not divisible by $3.$ What is $r?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Solución:

El número de maneras de dividir $16$ personas en $4$ grupos indistinguibles de $4$ es $\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}.$ Cada comité elige luego un presidente y un secretario de $4 \cdot 3 = 12$ maneras, aportando $12^4.$ Así que el total es $\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4.$

Contando los factores de $3:$ $16!$ aporta $\lfloor 16/3\rfloor + \lfloor 16/9\rfloor = 6.$ El denominador $(4!)^4\,4!$ aporta $4 + 1 = 5.$ Y $12^4 = (2^2\cdot 3)^4$ aporta $4.$ Así $r = 6 - 5 + 4 = 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The number of ways to split $16$ people into $4$ indistinguishable groups of $4$ is $\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}.$ Each committee then chooses a chairperson and a secretary in $4 \cdot 3 = 12$ ways, contributing $12^4.$ So the total is $\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4.$

Counting factors of $3:$ $16!$ contributes $\lfloor 16/3\rfloor + \lfloor 16/9\rfloor = 6.$ The denominator $(4!)^4\,4!$ contributes $4 + 1 = 5.$ And $12^4 = (2^2\cdot 3)^4$ contributes $4.$ Thus $r = 6 - 5 + 4 = 5.$

Thus, the correct answer is A.

2024 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años