Question

Una función $f$ se define por $f(z) = i\overline{z},$ donde $i = \sqrt{-1}$ y $\overline{z}$ es el conjugado complejo de $z.$ ¿Cuántos valores de $z$ satisfacen a la vez $|z| = 5$ y $f(z) = z$ ?

A function $f$ is defined by $f(z) = i\overline{z},$ where $i = \sqrt{-1}$ and $\overline{z}$ is the complex conjugate of $z.$ How many values of $z$ satisfy both $|z| = 5$ and $f(z) = z?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

Solución:

Escribiendo $z = x + iy,$ obtenemos $f(z) = i(x - iy) = y + ix.$ Poner $f(z) = z$ da $y = x,$ que es una recta que pasa por el origen. La condición $|z| = 5$ es un círculo, y una recta que pasa por el centro corta al círculo en $2$ puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Writing $z = x + iy,$ we get $f(z) = i(x - iy) = y + ix.$ Setting $f(z) = z$ gives $y = x,$ which is a line through the origin. The condition $|z| = 5$ is a circle, and a line through the center meets the circle in $2$ points.

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años