Question

El tetraedro $ABCD$ tiene $AB = 5,$ $AC = 3,$ $BC = 4,$ $BD = 4,$ $AD = 3,$ y $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}.$ ¿Cuál es el volumen del tetraedro?

Tetrahedron $ABCD$ has $AB = 5,$ $AC = 3,$ $BC = 4,$ $BD = 4,$ $AD = 3,$ and $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}.$ What is the volume of the tetrahedron?

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$\dfrac{24}{5}$

$3\sqrt{3}$

$\dfrac{24}{5}\sqrt{2}$

Solución:

Los triángulos $ABC$ y $ABD$ son triángulos rectángulos $3$ - $4$ - $5$ con área $6$ e hipotenusa común $AB.$ Sea $E$ el pie de la altura desde $C$ hacia $AB;$ entonces $CE = \dfrac{3\cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.$ De igual modo, la altura desde $D$ llega a $AB$ en el mismo punto $E$ con $DE = \dfrac{12}{5}.$

El triángulo $CDE$ tiene lados $\dfrac{12}{5},$ $\dfrac{12}{5},$ y $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2},$ así que es un triángulo rectángulo isósceles con el ángulo recto en $E.$ Por lo tanto $DE \perp CE$ y $DE \perp AB,$ lo que hace que $DE$ sea perpendicular al plano de $ABC.$

El volumen del tetraedro es $\dfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot DE = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot \dfrac{12}{5}$ $= \dfrac{24}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Triangles $ABC$ and $ABD$ are $3$ - $4$ - $5$ right triangles with area $6$ and common hypotenuse $AB.$ Let $E$ be the foot of the altitude from $C$ to $AB;$ then $CE = \dfrac{3\cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.$ Likewise the altitude from $D$ meets $AB$ at the same point $E$ with $DE = \dfrac{12}{5}.$

Triangle $CDE$ has sides $\dfrac{12}{5},$ $\dfrac{12}{5},$ and $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2},$ so it is an isosceles right triangle with the right angle at $E.$ Thus $DE \perp CE$ and $DE \perp AB,$ making $DE$ perpendicular to the plane of $ABC.$

The tetrahedron's volume is $\dfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot DE = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot \dfrac{12}{5}$ $= \dfrac{24}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años