Question

Una urna contiene una bola roja y una bola azul. Cerca hay una caja con bolas rojas y azules adicionales. George realiza la siguiente operación cuatro veces: saca una bola de la urna al azar y luego toma de la caja una bola del mismo color, y devuelve esas dos bolas iguales a la urna. Después de las cuatro iteraciones, la urna contiene seis bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna contenga tres bolas de cada color?

An urn contains one red ball and one blue ball. A box of extra red and blue balls lies nearby. George performs the following operation four times: he draws a ball from the urn at random and then takes a ball of the same color from the box and returns those two matching balls to the urn. After the four iterations the urn contains six balls. What is the probability that the urn contains three balls of each color?

$\dfrac16$

$\dfrac15$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

Solución:

Para terminar con tres de cada color, exactamente dos de las cuatro bolas añadidas deben ser rojas. Considera cualquier secuencia de extracciones. Cuando la urna tiene $k$ bolas, sacar un color concreto con conteo $c$ tiene probabilidad $\tfrac{c}{k}.$

Cualquier orden con dos adiciones rojas y dos azules da el mismo producto $\tfrac{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5},$ y hay $\binom42 = 6$ de esos órdenes, para una probabilidad $\tfrac{6\cdot 4}{120} = \tfrac15.$ (Equivalentemente, el número de bolas rojas después de cuatro pasos es uniforme en $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ así que $3$ rojas ocurre con probabilidad $\tfrac15.$ )

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

To end with three of each color, exactly two of the four added balls must be red. Consider any sequence of draws. When the urn holds $k$ balls, drawing a particular color with count $c$ has probability $\tfrac{c}{k}.$

Any ordering with two red and two blue additions gives the same product $\tfrac{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5},$ and there are $\binom42 = 6$ such orderings, for probability $\tfrac{6\cdot 4}{120} = \tfrac15.$ (Equivalently, the number of red balls after four steps is uniform on $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ so $3$ red occurs with probability $\tfrac15.$ )

Thus, the correct answer is B.

2020 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años