Question

Hay $10$ personas dispuestas de forma equidistante alrededor de un círculo. Cada persona conoce exactamente a $3$ de las otras $9$ : las $2$ personas que están a su lado, así como la persona directamente al otro lado del círculo. ¿De cuántas maneras pueden las $10$ personas dividirse en $5$ parejas de modo que los dos miembros de cada pareja se conozcan?

There are $10$ people standing equally spaced around a circle. Each person knows exactly $3$ of the other $9$ people: the $2$ people standing next to her or him, as well as the person directly across the circle. How many ways are there for the $10$ people to split up into $5$ pairs so that the members of each pair know each other?

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Solución:

Etiqueta a las personas del $0$ al $9.$ Los emparejamientos permitidos usan aristas de vecinos $(i, i + 1)$ o aristas de diámetro $(i, i + 5).$ Cuenta los emparejamientos perfectos según el número de aristas de diámetro usadas.

Sin diámetros, las diez personas se emparejan en parejas adyacentes de $2$ maneras (todas las aristas "pares" o todas las "impares"). Con exactamente un diámetro, se elige de $5$ maneras; los dos arcos restantes de cuatro personas cada uno se emparejan de forma única, dando $5.$ Con los cinco diámetros se obtiene $1$ emparejamiento.

Usar exactamente tres diámetros cubre los casos restantes: hay $5$ de esos emparejamientos (dos diámetros nunca pueden usarse sin forzar un arco impar imposible de emparejar). En total, $2 + 5 + 5 + 1 = 13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Label the people $0$ through $9.$ Allowed pairings use neighbor edges $(i, i + 1)$ or diameter edges $(i, i + 5).$ Count perfect matchings by the number of diameter edges used.

Using no diameters, the ten people split into adjacent pairs in $2$ ways (all "even" edges or all "odd" edges). Using exactly one diameter, choose it in $5$ ways; the remaining two arcs of four people each pair up uniquely, giving $5.$ Using all five diameters gives $1$ matching.

Using exactly three diameters accounts for the remaining cases: there are $5$ such matchings (two diameters can never be used without forcing an unmatchable odd arc). In total, $2 + 5 + 5 + 1 = 13.$

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años