Question

Jesse corta un disco circular de papel de radio $12$ a lo largo de dos radios para formar dos sectores, el más pequeño con un ángulo central de $120$ grados. Hace dos conos circulares, usando cada sector para formar la superficie lateral de un cono. ¿Cuál es la razón entre el volumen del cono más pequeño y el del más grande?

Jesse cuts a circular paper disk of radius $12$ along two radii to form two sectors, the smaller having a central angle of $120$ degrees. He makes two circular cones, using each sector to form the lateral surface of a cone. What is the ratio of the volume of the smaller cone to that of the larger?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{6}$

$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Solución:

Cada sector forma un cono con generatriz $12.$ La longitud de arco del sector más pequeño es $\tfrac{120}{360}\cdot2\pi\cdot12=8\pi,$ así que su radio de base es $4$ y su altura es $\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2.$

El sector más grande (ángulo central $240^\circ$ ) tiene longitud de arco $16\pi,$ radio de base $8,$ y altura $\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5.$

La razón de volúmenes es $\frac{\tfrac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\tfrac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5} =\frac{\sqrt{10}}{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each sector forms a cone with slant height $12.$ The smaller sector's arc length is $\tfrac{120}{360}\cdot2\pi\cdot12=8\pi,$ so its base radius is $4$ and its height is $\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2.$

The larger sector (central angle $240^\circ$ ) has arc length $16\pi,$ base radius $8,$ and height $\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5.$

The ratio of volumes is $\frac{\tfrac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\tfrac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5} =\frac{\sqrt{10}}{10}.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años