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2012 AMC 12B Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2012 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Jesse corta un disco circular de papel de radio 1212 a lo largo de dos radios para formar dos sectores, el más pequeño con un ángulo central de 120120 grados. Hace dos conos circulares, usando cada sector para formar la superficie lateral de un cono. ¿Cuál es la razón entre el volumen del cono más pequeño y el del más grande?

Jesse cuts a circular paper disk of radius 1212 along two radii to form two sectors, the smaller having a central angle of 120120 degrees. He makes two circular cones, using each sector to form the lateral surface of a cone. What is the ratio of the volume of the smaller cone to that of the larger?

18\dfrac{1}{8}

14\dfrac{1}{4}

1010\dfrac{\sqrt{10}}{10}

56\dfrac{\sqrt{5}}{6}

105\dfrac{\sqrt{10}}{5}

Respuesta: C
Conceptos:conovolumenTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:

La longitud de arco de cada sector se convierte en la circunferencia de la base de ese cono, lo que da su radio de base

The arc length of each sector becomes the circumference of that cone’s base, giving its base radius

Pista grande:

Cada cono tiene generatriz 12,12, así que halla cada altura con el teorema de Pitágoras antes de comparar 13πr2h\tfrac13\pi r^2 h

Each cone has slant height 12,12, so find each height with the Pythagorean theorem before comparing 13πr2h\tfrac13\pi r^2 h

Solución:

Cada sector forma un cono con generatriz 12.12. La longitud de arco del sector más pequeño es 120360⋅2π⋅12=8π,\tfrac{120}{360}\cdot2\pi\cdot12=8\pi, así que su radio de base es 44 y su altura es 122−42=82.\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2.

El sector más grande (ángulo central 240∘240^\circ) tiene longitud de arco 16π,16\pi, radio de base 8,8, y altura 122−82=45.\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5.

La razón de volúmenes es 13π⋅42⋅8213π⋅82⋅45=1010.\frac{\tfrac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\tfrac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5} =\frac{\sqrt{10}}{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each sector forms a cone with slant height 12.12. The smaller sector’s arc length is 120360⋅2π⋅12=8π,\tfrac{120}{360}\cdot2\pi\cdot12=8\pi, so its base radius is 44 and its height is 122−42=82.\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2.

The larger sector (central angle 240∘240^\circ) has arc length 16π,16\pi, base radius 8,8, and height 122−82=45.\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5.

The ratio of volumes is 13π⋅42⋅8213π⋅82⋅45=1010.\frac{\tfrac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\tfrac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5} =\frac{\sqrt{10}}{10}.

Thus, the correct answer is C.

Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

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