Question

Un insecto vive en la superficie de un tetraedro regular con aristas de longitud $1.$ Desea viajar sobre la superficie del tetraedro desde el punto medio de una arista hasta el punto medio de la arista opuesta. ¿Cuál es la longitud del trayecto más corto? (Nota: dos aristas de un tetraedro son opuestas si no tienen ningún extremo común.)

An insect lives on the surface of a regular tetrahedron with edges of length $1.$ It wishes to travel on the surface of the tetrahedron from the midpoint of one edge to the midpoint of the opposite edge. What is the length of the shortest such trip? (Note: Two edges of a tetrahedron are opposite if they have no common endpoint.)

$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$1$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

Solución:

Despliega en el plano las dos caras que cruza el insecto. Forman un rombo de lado $1$ compuesto por dos triángulos equiláteros.

Los dos puntos medios de aristas opuestas se convierten en los puntos medios de lados opuestos de este rombo, que están exactamente a $1$ unidad de distancia a lo largo de un segmento recto. Doblar de vuelta preserva la longitud, así que el trayecto más corto es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Unfold the two faces the insect crosses into the plane. They form a rhombus of side $1$ made of two equilateral triangles.

The two opposite-edge midpoints become the midpoints of opposite sides of this rhombus, which are exactly $1$ unit apart along a straight segment. Folding back preserves the length, so the shortest trip is $1.$

Thus, the correct answer is B.

2001 AMC 12 Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años