Question

Uno de los siguientes números no es divisible por ningún número primo menor que $10.$ ¿Cuál es?

One of the following numbers is not divisible by any prime number less than $10.$ Which is it?

$2^{606} - 1$

$2^{606} + 1$

$2^{607} - 1$

$2^{607} + 1$

$2^{607} + 3^{607}$

Solución:

Toda opción es impar, así que solo hay que verificar los primos $3, 5, 7$ .

Opción A: $2^{606} \equiv 1 \pmod 3,$ así que $2^{606} - 1$ es divisible por $3.$ Opción B: $2^{606} \equiv 4 \pmod 5,$ así que $2^{606} + 1$ es divisible por $5.$ Opción D: $2^{607} \equiv 2 \pmod 3,$ así que $2^{607} + 1$ es divisible por $3.$ Opción E: módulo $5,$ $2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0.$

Para $2^{607} - 1:$ es $\equiv 1 \pmod 3,$ $\equiv 2 \pmod 5,$ y (ya que $2^3 \equiv 1 \pmod 7$ y $607 \equiv 1 \pmod 3$ ) $\equiv 1 \pmod 7.$ Así que no es divisible por ningún primo menor que $10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Every option is odd, so only the primes $3, 5, 7$ need checking.

Option A: $2^{606} \equiv 1 \pmod 3,$ so $2^{606} - 1$ is divisible by $3.$ Option B: $2^{606} \equiv 4 \pmod 5,$ so $2^{606} + 1$ is divisible by $5.$ Option D: $2^{607} \equiv 2 \pmod 3,$ so $2^{607} + 1$ is divisible by $3.$ Option E: modulo $5,$ $2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0.$

For $2^{607} - 1:$ it is $\equiv 1 \pmod 3,$ $\equiv 2 \pmod 5,$ and (since $2^3 \equiv 1 \pmod 7$ and $607 \equiv 1 \pmod 3$ ) $\equiv 1 \pmod 7.$ So it is not divisible by any prime below $10.$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años