Question

La figura está construida con $11$ segmentos de recta, cada uno de longitud $2.$ El área del pentágono $ABCDE$ puede escribirse como $\sqrt m+\sqrt n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

The figure is constructed from $11$ line segments, each of which has length $2.$ The area of pentagon $ABCDE$ can be written as $\sqrt m+\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m+n?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Solución:

Los once segmentos iguales forman dos rombos (cada uno con dos triángulos equiláteros de lado $2$ ) que comparten el vértice $A,$ con $C$ y $D$ unidos por un segmento final. La figura es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por $A.$

Colocando $A=(0,0)$ arriba, los dos vértices inferiores resultan ser $C=(-1,-\sqrt{11})$ y $D=(1,-\sqrt{11}),$ con $B$ y $E$ las esquinas exteriores a la altura $-\tfrac{\sqrt{11}}{2}+\tfrac{1}{2\sqrt3}.$

Aplicando la fórmula del zapato al pentágono $ABCDE$ se obtiene el área $\sqrt{11}+2\sqrt3=\sqrt{11}+\sqrt{12}.$

Así $m+n=11+12=23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The eleven equal segments form two rhombi (each two equilateral triangles of side $2$ ) sharing the apex $A,$ with $C$ and $D$ joined by a final segment. The figure is symmetric about the vertical line through $A.$

Placing $A=(0,0)$ at the top, the two bottom vertices come out to $C=(-1,-\sqrt{11})$ and $D=(1,-\sqrt{11}),$ with $B$ and $E$ the outer corners at height $-\tfrac{\sqrt{11}}{2}+\tfrac{1}{2\sqrt3}.$

Applying the shoelace formula to pentagon $ABCDE$ gives area $\sqrt{11}+2\sqrt3=\sqrt{11}+\sqrt{12}.$

So $m+n=11+12=23.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años