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2019 AMC 12A Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2019 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Los números reales positivos aa y bb tienen la propiedad de que
log⁡a+log⁡b+log⁡a+log⁡b=100 \begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}
y los cuatro términos de la izquierda son enteros positivos, donde log⁡\log denota el logaritmo en base 1010. ¿Cuánto vale abab?
Positive real numbers aa and bb have the property that
log⁡a+log⁡b+log⁡a+log⁡b=100 \begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}
and all four terms on the left are positive integers, where log⁡\log denotes the base 1010 logarithm. What is ab?ab?
105210^{52}
1010010^{100}
1014410^{144}
1016410^{164}
1020010^{200}
Respuesta: D
Conceptos:logaritmoEcuación diofánticaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:
Sea log⁡a=p\sqrt{\log a} = p y log⁡b=q;\sqrt{\log b} = q; entonces log⁡a=p22\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2} debe ser un entero
Let log⁡a=p\sqrt{\log a} = p and log⁡b=q;\sqrt{\log b} = q; then log⁡a=p22\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2} must be an integer
Pista grande:
Con p=2m,p = 2m, q=2n,q = 2n, la ecuación se convierte en m(m+1)+n(n+1)=50m(m+1) + n(n+1) = 50
With p=2m,p = 2m, q=2n,q = 2n, the equation becomes m(m+1)+n(n+1)=50m(m+1) + n(n+1) = 50
Solución:
Sea log⁡a=p\sqrt{\log a} = p y log⁡b=q,\sqrt{\log b} = q, así que log⁡a=p2\log a = p^2 y log⁡a=p22.\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}. Para que esto sea un entero, pp es par; igualmente q.q.
Escribiendo p=2m,p = 2m, q=2n,q = 2n, la ecuación p+q+p22+q22=100p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100 se convierte en m(m+1)+n(n+1)=50.m(m+1) + n(n+1) = 50.
La única solución es {m,n}={4,5},\{m, n\} = \{4, 5\}, dando log⁡(ab)=p2+q2\log(ab) = p^2 + q^2 =4(16+25)=164.= 4(16 + 25) = 164.
Por lo tanto ab=10164.ab = 10^{164}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let log⁡a=p\sqrt{\log a} = p and log⁡b=q,\sqrt{\log b} = q, so log⁡a=p2\log a = p^2 and log⁡a=p22.\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}. For this to be an integer, pp is even; likewise q.q.
Writing p=2m,p = 2m, q=2n,q = 2n, the equation p+q+p22+q22=100p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100 becomes m(m+1)+n(n+1)=50.m(m+1) + n(n+1) = 50.
The only solution is {m,n}={4,5},\{m, n\} = \{4, 5\}, giving log⁡(ab)=p2+q2\log(ab) = p^2 + q^2 =4(16+25)=164.= 4(16 + 25) = 164.
Therefore ab=10164.ab = 10^{164}.
Thus, the correct answer is D.
Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

El Problema 15 en otros años

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