Question

Sea $f$ una función para la cual $f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Halla la suma de todos los valores de $z$ para los cuales $f(3z) = 7.$

Let $f$ be a function for which $f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Find the sum of all values of $z$ for which $f(3z) = 7.$

$-\dfrac{1}{3}$

$-\dfrac{1}{9}$

$0$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{5}{3}$

Para evaluar $f(3z),$ haz $\dfrac{x}{3} = 3z,$ de modo que $x = 9z$ .

To evaluate $f(3z),$ set $\dfrac{x}{3} = 3z,$ so $x = 9z$

Esto da una cuadrática en $z$ ; usa la fórmula de la suma de raíces $-\dfrac{b}{a}$ .

This gives a quadratic in $z$ ; use the sum-of-roots formula $-\dfrac{b}{a}$

Al hacer $\dfrac{x}{3} = 3z$ obtenemos $x = 9z,$ así que $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \\ &= 7. \end{aligned}$

Esto se reordena a $81z^2 + 9z - 6 = 0.$

Por la fórmula de la suma de raíces, la suma de los valores de $z$ es $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac{1}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Setting $\dfrac{x}{3} = 3z$ gives $x = 9z,$ so $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \\ &= 7. \end{aligned}$

This rearranges to $81z^2 + 9z - 6 = 0.$

By the sum-of-roots formula, the sum of the values of $z$ is $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac{1}{9}.$

Thus, the correct answer is B.