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2023 AMC 12A Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2023 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Usain camina para hacer ejercicio zigzagueando a través de un campo rectangular de 100100 metros por 3030 metros, comenzando en el punto AA y terminando en el segmento BC‾.\overline{BC}. Quiere aumentar la distancia caminada zigzagueando como se muestra en la figura de abajo (APQRSAPQRS). ¿Qué ángulo θ=∠PAB\theta=\angle PAB =∠QPC=\angle QPC =∠RQB=⋯=\angle RQB=\cdots producirá una longitud de 120120 metros? (No supongas que la trayectoria en zigzag tiene exactamente cuatro segmentos como se muestra; podría haber más o menos.)

Usain is walking for exercise by zigzagging across a 100100-meter by 3030-meter rectangular field, beginning at point AA and ending on the segment BC‾.\overline{BC}. He wants to increase the distance walked by zigzagging as shown in the figure below (APQRSAPQRS). What angle θ=∠PAB\theta=\angle PAB =∠QPC=\angle QPC =∠RQB=⋯=\angle RQB=\cdots will produce a length that is 120120 meters? (Do not assume the zigzag path has exactly four segments as shown; there could be more or fewer.)

arccos⁡56\arccos\tfrac{5}{6}

arccos⁡45\arccos\tfrac{4}{5}

arccos⁡310\arccos\tfrac{3}{10}

arcsin⁡45\arcsin\tfrac{4}{5}

arcsin⁡56\arcsin\tfrac{5}{6}

Respuesta: A
Conceptos:trigonometríatriángulo rectángulo
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:

La proyección horizontal de cada segmento del zigzag es su longitud multiplicada por cos⁡θ\cos\theta

The horizontal projection of each zigzag segment is its length multiplied by cos⁡θ\cos\theta

Pista grande:

Suma las proyecciones horizontales de todos los segmentos y compara el avance de 100100 metros con la trayectoria de 120120 metros

Add the horizontal projections of all the segments and compare the 100100-meter progress with the 120120-meter path

Solución:

Cada segmento del zigzag forma un ángulo θ\theta con un lado horizontal del campo. Por tanto, un segmento de longitud ss avanza scos⁡θs\cos\theta metros horizontalmente. Esto también vale para el último segmento, aunque termine antes de cruzar todo el ancho del campo.

Al sumar las proyecciones horizontales de toda la trayectoria de 120120 metros, obtenemos 120cos⁡θ=100.120\cos\theta=100.

Por tanto, cos⁡θ=56,\cos\theta=\dfrac56, y θ=arccos⁡56.\theta=\arccos\dfrac56.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every segment of the zigzag makes angle θ\theta with a horizontal side of the field. Therefore a segment of length ss advances scos⁡θs\cos\theta meters horizontally. This remains true for the last segment even if it ends before crossing the full width of the field.

Adding the horizontal projections over the entire 120120-meter path gives 120cos⁡θ=100.120\cos\theta=100.

Therefore cos⁡θ=56,\cos\theta=\dfrac56, so θ=arccos⁡56.\theta=\arccos\dfrac56.

Thus, the correct answer is A.

Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

El Problema 15 en otros años

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