Question

Usain camina para hacer ejercicio zigzagueando a través de un campo rectangular de $100$ metros por $30$ metros, comenzando en el punto $A$ y terminando en el segmento $\overline{BC}.$ Quiere aumentar la distancia caminada zigzagueando como se muestra en la figura de abajo ( $APQRS$ ). ¿Qué ángulo $\theta=\angle PAB$ $=\angle QPC$ $=\angle RQB=\cdots$ producirá una longitud de $120$ metros? (No supongas que la trayectoria en zigzag tiene exactamente cuatro segmentos como se muestra; podría haber más o menos.)

Usain is walking for exercise by zigzagging across a $100$ -meter by $30$ -meter rectangular field, beginning at point $A$ and ending on the segment $\overline{BC}.$ He wants to increase the distance walked by zigzagging as shown in the figure below ( $APQRS$ ). What angle $\theta=\angle PAB$ $=\angle QPC$ $=\angle RQB=\cdots$ will produce a length that is $120$ meters? (Do not assume the zigzag path has exactly four segments as shown; there could be more or fewer.)

$\arccos\tfrac{5}{6}$

$\arccos\tfrac{4}{5}$

$\arccos\tfrac{3}{10}$

$\arcsin\tfrac{4}{5}$

$\arcsin\tfrac{5}{6}$

Solución:

Cada segmento del zigzag abarca todo el ancho $30,$ así que tiene longitud $\dfrac{30}{\sin\theta}$ y avanza $\dfrac{30}{\tan\theta}$ horizontalmente.

Sumando sobre todos los segmentos, la longitud total es $120$ y el avance horizontal total es $100.$ Su razón es $\begin{gathered} \dfrac{\text{length}}{\text{horizontal}}\\ {}=\dfrac{1/\sin\theta}{1/\tan\theta}\\ {}=\dfrac{1}{\cos\theta}\\ {}=\dfrac{120}{100}. \end{gathered}$

Por lo tanto $\cos\theta=\dfrac56,$ así que $\theta=\arccos\dfrac56.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every segment of the zigzag spans the full width $30,$ so it has length $\dfrac{30}{\sin\theta}$ and advances $\dfrac{30}{\tan\theta}$ horizontally.

Summing over all segments, the total length is $120$ and the total horizontal advance is $100.$ Their ratio is $\begin{gathered} \dfrac{\text{length}}{\text{horizontal}}\\ {}=\dfrac{1/\sin\theta}{1/\tan\theta}\\ {}=\dfrac{1}{\cos\theta}\\ {}=\dfrac{120}{100}. \end{gathered}$

Therefore $\cos\theta=\dfrac56,$ so $\theta=\arccos\dfrac56.$

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años