Soluciones del 2023 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Las ciudades $A$ y $B$ están a $45$ millas de distancia. Alicia vive en $A$ y Beth vive en $B.$ Alicia va en bicicleta hacia $B$ a $18$ millas por hora. Saliendo al mismo tiempo, Beth va en bicicleta hacia $A$ a $12$ millas por hora. ¿A cuántas millas de la ciudad $A$ estarán cuando se encuentren?

Cities $A$ and $B$ are $45$ miles apart. Alicia lives in $A$ and Beth lives in $B.$ Alicia bikes towards $B$ at $18$ miles per hour. Leaving at the same time, Beth bikes toward $A$ at $12$ miles per hour. How many miles from City $A$ will they be when they meet?

$20$

$24$

$25$

$26$

$27$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 890

Solución:

La distancia entre ellas se reduce a $18+12=30$ millas por hora, así que se encuentran al cabo de $\dfrac{45}{30}=1.5$ horas.

En ese tiempo Alicia ha recorrido $18\cdot 1.5=27$ millas desde la ciudad $A.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The gap between them closes at $18+12=30$ miles per hour, so they meet after $\dfrac{45}{30}=1.5$ hours.

In that time Alicia has ridden $18\cdot 1.5=27$ miles from City $A.$

Thus, the correct answer is E.

2.

El peso de $\tfrac13$ de una pizza grande junto con $3\tfrac12$ tazas de rodajas de naranja es igual al peso de $\tfrac34$ de una pizza grande junto con $\tfrac12$ taza de rodajas de naranja. Una taza de rodajas de naranja pesa $\tfrac14$ de libra. ¿Cuánto pesa, en libras, una pizza grande?

The weight of $\tfrac13$ of a large pizza together with $3\tfrac12$ cups of orange slices is the same as the weight of $\tfrac34$ of a large pizza together with $\tfrac12$ cup of orange slices. A cup of orange slices weighs $\tfrac14$ of a pound. What is the weight, in pounds, of a large pizza?

$1\tfrac45$

$2$

$2\tfrac25$

$3$

$3\tfrac35$

Conceptos:ecuación lineal fracción

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Sea $P$ el peso de la pizza en libras. Entonces $3\tfrac12$ tazas pesan $\tfrac72\cdot\tfrac14=\tfrac78$ y $\tfrac12$ taza pesa $\tfrac12\cdot\tfrac14=\tfrac18.$

La ecuación es $\tfrac13 P+\tfrac78=\tfrac34 P+\tfrac18.$

Al restar se obtiene $\tfrac78-\tfrac18=\left(\tfrac34-\tfrac13\right)P,$ así que $\tfrac34=\tfrac{5}{12}P$ y $P=\dfrac{9}{5}=1\tfrac45.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the pizza weigh $P$ pounds. Then $3\tfrac12$ cups weigh $\tfrac72\cdot\tfrac14=\tfrac78$ and $\tfrac12$ cup weighs $\tfrac12\cdot\tfrac14=\tfrac18.$

The equation is $\tfrac13 P+\tfrac78=\tfrac34 P+\tfrac18.$

Subtracting gives $\tfrac78-\tfrac18=\left(\tfrac34-\tfrac13\right)P,$ so $\tfrac34=\tfrac{5}{12}P$ and $P=\dfrac{9}{5}=1\tfrac45.$

Thus, the correct answer is A.

3.

¿Cuántos cuadrados perfectos positivos menores que $2023$ son divisibles por $5$ ?

How many positive perfect squares less than $2023$ are divisible by $5?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:cuadrado perfecto divisibilidad

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Un cuadrado perfecto es divisible por $5$ solo si su raíz lo es, así que los cuadrados son $(5k)^2=25k^2.$

Como $44^2=1936\lt 2023$ $\lt 2025=45^2,$ la raíz puede ser $5,10,\ldots,40,$ es decir $k=1$ hasta $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A perfect square is divisible by $5$ only if its root is, so the squares are $(5k)^2=25k^2.$

Since $44^2=1936\lt 2023$ $\lt 2025=45^2,$ the root can be $5,10,\ldots,40,$ which is $k=1$ through $8.$

Thus, the correct answer is A.

4.

¿Cuántos dígitos tiene la representación en base diez de $8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5$ ?

How many digits are in the base-ten representation of $8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5?$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Conceptos:factorización en primos dígitos

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Escribiendo todo en primos, $\begin{gathered} 8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5\\ {}=2^{15}\cdot 5^{10}\cdot 3^5\cdot 5^5\\ {}=3^5\cdot 2^{15}\cdot 5^{15}. \end{gathered}$

Esto es igual a $3^5\cdot 10^{15}=243\cdot 10^{15},$ que es $243$ seguido de $15$ ceros, para un total de $18$ dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Writing everything in primes, $\begin{gathered} 8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5\\ {}=2^{15}\cdot 5^{10}\cdot 3^5\cdot 5^5\\ {}=3^5\cdot 2^{15}\cdot 5^{15}. \end{gathered}$

This equals $3^5\cdot 10^{15}=243\cdot 10^{15},$ which is $243$ followed by $15$ zeros, for a total of $18$ digits.

Thus, the correct answer is E.

5.

Janet lanza un dado estándar de $6$ caras $4$ veces y va llevando la suma acumulada de los números que obtiene. ¿Cuál es la probabilidad de que en algún momento su suma acumulada sea igual a $3$ ?

Janet rolls a standard $6$ -sided die $4$ times and keeps a running total of the numbers she rolls. What is the probability that at some point, her running total will equal $3?$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{49}{216}$

$\dfrac{25}{108}$

$\dfrac{17}{72}$

$\dfrac{13}{54}$

Conceptos:dados (probabilidad)análisis por casos

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

La suma acumulada es creciente, así que llega a $3$ exactamente cuando ocurre uno de estos inicios disjuntos: un primer lanzamiento de $3;$ los lanzamientos $1,2;$ los lanzamientos $2,1;$ o los lanzamientos $1,1,1.$

Sus probabilidades son $\begin{gathered} \dfrac16+\dfrac1{36}+\dfrac1{36}+\dfrac1{216}\\ {}=\dfrac{36+6+6+1}{216}\\ {}=\dfrac{49}{216}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The running total is increasing, so it hits $3$ exactly when one of these disjoint openings occurs: a first roll of $3;$ rolls $1,2;$ rolls $2,1;$ or rolls $1,1,1.$

Their probabilities are $\begin{gathered} \dfrac16+\dfrac1{36}+\dfrac1{36}+\dfrac1{216}\\ {}=\dfrac{36+6+6+1}{216}\\ {}=\dfrac{49}{216}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

6.

Los puntos $A$ y $B$ están en la gráfica de $y=\log_2 x.$ El punto medio de $\overline{AB}$ es $(6,2).$ ¿Cuál es la diferencia positiva entre las coordenadas $x$ de $A$ y $B$ ?

Points $A$ and $B$ lie on the graph of $y=\log_2 x.$ The midpoint of $\overline{AB}$ is $(6,2).$ What is the positive difference between the $x$ -coordinates of $A$ and $B?$

$2\sqrt{11}$

$4\sqrt{3}$

$8$

$4\sqrt{5}$

$9$

Conceptos:logaritmo punto medio manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Sean $x_1$ y $x_2$ las coordenadas $x.$ El punto medio da $x_1+x_2=12,$ y el promedio de los valores $y$ da $\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,$ así que $x_1x_2=2^4=16.$

Entonces $\begin{gathered} |x_1-x_2|\\ {}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ {}=\sqrt{144-64}\\ {}=\sqrt{80}\\ {}=4\sqrt5. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the $x$ -coordinates be $x_1$ and $x_2.$ The midpoint gives $x_1+x_2=12,$ and the average of the $y$ -values gives $\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,$ so $x_1x_2=2^4=16.$

Then $\begin{gathered} |x_1-x_2|\\ {}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ {}=\sqrt{144-64}\\ {}=\sqrt{80}\\ {}=4\sqrt5. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

7.

Una pantalla digital muestra la fecha actual como un entero de $8$ dígitos que consta de un año de $4$ dígitos, seguido de un mes de $2$ dígitos, seguido del día del mes de $2$ dígitos. Por ejemplo, el Día del Árbol de este año se muestra como $20230428.$ ¿Para cuántas fechas de $2023$ aparecerá cada dígito un número par de veces en la pantalla de $8$ dígitos de esa fecha?

A digital display shows the current date as an $8$ -digit integer consisting of a $4$ -digit year, followed by a $2$ -digit month, followed by a $2$ -digit date within the month. For example, Arbor Day this year is displayed as $20230428.$ For how many dates in $2023$ will each digit appear an even number of times in the $8$ -digit display for that date?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:dígitos paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

El año aporta los dígitos $2,0,2,3,$ así que $2$ aparece dos veces mientras que $0$ y $3$ aparecen una vez cada uno. Para que cada dígito termine con una cantidad par, los cuatro dígitos del mes y el día deben aportar una cantidad impar de $0$ , una cantidad impar de $3$ , y una cantidad par de cada otro dígito.

Con solo cuatro dígitos disponibles, la cadena de mes y día debe usar exactamente un $0,$ un $3,$ y un par repetido de algún dígito. Al revisar los meses y días válidos quedan nueve fechas: $01\text{-}13,$ $01\text{-}31,$ $02\text{-}23,$ $03\text{-}11,$ $03\text{-}22,$ $10\text{-}13,$ $10\text{-}31,$ $11\text{-}03,$ y $11\text{-}30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The year contributes the digits $2,0,2,3,$ so $2$ appears twice while $0$ and $3$ each appear once. For every digit to end up with an even count, the four digits of the month and day must supply an odd number of $0$ 's, an odd number of $3$ 's, and an even number of every other digit.

With only four digits available, the month-day string must use exactly one $0,$ one $3,$ and a repeated pair of some digit. Checking valid months and days leaves nine dates: $01\text{-}13,$ $01\text{-}31,$ $02\text{-}23,$ $03\text{-}11,$ $03\text{-}22,$ $10\text{-}13,$ $10\text{-}31,$ $11\text{-}03,$ and $11\text{-}30.$

Thus, the correct answer is E.

8.

Maureen lleva el registro del promedio de sus calificaciones de los cuestionarios de este semestre. Si Maureen saca un $11$ en el próximo cuestionario, su promedio aumentará en $1.$ Si saca un $11$ en cada uno de los próximos tres cuestionarios, su promedio aumentará en $2.$ ¿Cuál es el promedio actual de sus calificaciones?

Maureen is keeping track of the mean of her quiz scores this semester. If Maureen scores an $11$ on the next quiz, her mean will increase by $1.$ If she scores an $11$ on each of the next three quizzes, her mean will increase by $2.$ What is the mean of her quiz scores currently?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:media sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Sea $m$ el promedio actual sobre $n$ cuestionarios, así que el total es $S=mn.$ Añadir un $11$ da $\dfrac{mn+11}{n+1}=m+1,$ lo que se simplifica a $m+n=10.$

Añadir tres $11$ da $\dfrac{mn+33}{n+3}=m+2,$ lo que se simplifica a $3m+2n=27.$

Resolver $m+n=10$ y $3m+2n=27$ da $m=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the current mean be $m$ over $n$ quizzes, so the total is $S=mn.$ Adding one $11$ gives $\dfrac{mn+11}{n+1}=m+1,$ which simplifies to $m+n=10.$

Adding three $11$ 's gives $\dfrac{mn+33}{n+3}=m+2,$ which simplifies to $3m+2n=27.$

Solving $m+n=10$ and $3m+2n=27$ gives $m=7.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Un cuadrado de área $2$ está inscrito en un cuadrado de área $3,$ formando cuatro triángulos congruentes, como se muestra a continuación. ¿Cuál es la razón entre el cateto más corto y el cateto más largo en el triángulo rectángulo sombreado?

A square of area $2$ is inscribed in a square of area $3,$ creating four congruent triangles, as shown below. What is the ratio of the shorter leg to the longer leg in the shaded right triangle?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$2-\sqrt{3}$

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\sqrt{2}-1$

Conceptos:cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

El cuadrado exterior tiene lado $\sqrt3$ y el cuadrado interior tiene lado $\sqrt2.$ Cada triángulo es rectángulo, con catetos $p$ y $q$ a lo largo de un lado exterior, así que $p+q=\sqrt3,$ y con hipotenusa igual a un lado interior, así que $p^2+q^2=2.$

Entonces $(p+q)^2=3$ da $2pq=1,$ así que $p$ y $q$ son las raíces de $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,$ es decir $\dfrac{\sqrt3\pm 1}{2}.$

La razón del cateto más corto al más largo es $\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\\ {}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}\\ {}=2-\sqrt3. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The outer square has side $\sqrt3$ and the inner square has side $\sqrt2.$ Each triangle is right, with legs $p$ and $q$ along an outer side, so $p+q=\sqrt3,$ and with hypotenuse an inner side, so $p^2+q^2=2.$

Then $(p+q)^2=3$ gives $2pq=1,$ so $p$ and $q$ are the roots of $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,$ namely $\dfrac{\sqrt3\pm 1}{2}.$

The ratio of shorter to longer leg is $\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\\ {}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}\\ {}=2-\sqrt3. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

10.

Los números reales positivos $x$ y $y$ satisfacen $y^3=x^2$ y $(y-x)^2=4y^2.$ ¿Cuánto vale $x+y$ ?

Positive real numbers $x$ and $y$ satisfy $y^3=x^2$ and $(y-x)^2=4y^2.$ What is $x+y?$

$12$

$18$

$24$

$36$

$42$

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

De $(y-x)^2=4y^2$ obtenemos $y-x=\pm 2y.$ La opción $y-x=2y$ da $x=-y\lt 0,$ imposible, así que $y-x=-2y,$ es decir $x=3y.$

Sustituyendo en $y^3=x^2=9y^2$ se obtiene $y=9,$ de donde $x=27$ y $x+y=36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From $(y-x)^2=4y^2$ we get $y-x=\pm 2y.$ The choice $y-x=2y$ gives $x=-y\lt 0,$ impossible, so $y-x=-2y,$ meaning $x=3y.$

Substituting into $y^3=x^2=9y^2$ gives $y=9,$ hence $x=27$ and $x+y=36.$

Thus, the correct answer is D.

11.

¿Cuál es la medida en grados del ángulo agudo formado por rectas con pendientes $2$ y $\tfrac13$ ?

What is the degree measure of the acute angle formed by lines with slopes $2$ and $\tfrac13?$

$30$

$37.5$

$45$

$52.5$

$60$

Conceptos:pendiente trigonometría

Nivel de dificultad: 1570

Solución:

La tangente del ángulo entre las rectas es $\left|\dfrac{2-\tfrac13}{1+2\cdot\tfrac13}\right| =\left|\dfrac{\tfrac53}{\tfrac53}\right|=1.$

El ángulo agudo con tangente $1$ es $45^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The tangent of the angle between the lines is $\left|\dfrac{2-\tfrac13}{1+2\cdot\tfrac13}\right| =\left|\dfrac{\tfrac53}{\tfrac53}\right|=1.$

The acute angle with tangent $1$ is $45^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

12.

¿Cuál es el valor de $\begin{gathered} 2^3-1^3+4^3-3^3+6^3-5^3\\ {}+\cdots+18^3-17^3? \end{gathered}$

What is the value of $\begin{gathered} 2^3-1^3+4^3-3^3+6^3-5^3\\ {}+\cdots+18^3-17^3? \end{gathered}$

$2023$

$2679$

$2941$

$3159$

$3235$

Conceptos:suma y diferencia de cubos suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Agrupa en pares $(2k)^3-(2k-1)^3$ para $k=1,\ldots,9.$ Al desarrollar, $\begin{gathered} (2k)^3-(2k-1)^3\\ {}=12k^2-6k+1. \end{gathered}$

Sumando para $k=1$ hasta $9,$ con $\sum k^2=285$ y $\sum k=45,$ se obtiene $\begin{gathered} 12\cdot 285-6\cdot 45+9\\ {}=3420-270+9\\ {}=3159. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Group into pairs $(2k)^3-(2k-1)^3$ for $k=1,\ldots,9.$ Expanding, $\begin{gathered} (2k)^3-(2k-1)^3\\ {}=12k^2-6k+1. \end{gathered}$

Summing for $k=1$ to $9,$ with $\sum k^2=285$ and $\sum k=45,$ gives $\begin{gathered} 12\cdot 285-6\cdot 45+9\\ {}=3420-270+9\\ {}=3159. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

13.

En un torneo de tenis de mesa cada participante jugó contra cada otro participante exactamente una vez. Aunque había el doble de jugadores diestros que de jugadores zurdos, el número de partidos ganados por los jugadores zurdos fue $40\%$ mayor que el número de partidos ganados por los jugadores diestros. (No hubo empates ni jugadores ambidiestros.) ¿Cuál es el número total de partidos jugados?

In a table tennis tournament every participant played every other participant exactly once. Although there were twice as many right-handed players as left-handed players, the number of games won by left-handed players was $40\%$ more than the number of games won by right-handed players. (There were no ties and no ambidextrous players.) What is the total number of games played?

$15$

$36$

$45$

$48$

$66$

Conceptos:combinaciones divisibilidad

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Supón que hay $L$ jugadores zurdos y $2L$ diestros, para $3L$ jugadores y $\binom{3L}{2}$ partidos en total.

Si los diestros ganan $R$ partidos, los zurdos ganan $1.4R,$ así que el total es $2.4R=\tfrac{12}{5}R.$ Para que sea un conteo entero, el número total de partidos debe ser un múltiplo de $12.$

Probando $L=1,2,3$ se obtienen totales $3,15,36;$ solo $36$ es múltiplo de $12,$ y es alcanzable (los $3$ zurdos pueden ganar los $18$ partidos mixtos más sus $3$ partidos internos, para $21=1.4\cdot 15$ victorias).

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let there be $L$ left-handed and $2L$ right-handed players, for $3L$ players and $\binom{3L}{2}$ games total.

If right-handers win $R$ games, left-handers win $1.4R,$ so the total is $2.4R=\tfrac{12}{5}R.$ For this to be an integer count, the total number of games must be a multiple of $12.$

Testing $L=1,2,3$ gives totals $3,15,36;$ only $36$ is a multiple of $12,$ and it is achievable (the $3$ left-handers can take all $18$ mixed games plus their $3$ internal games for $21=1.4\cdot 15$ wins).

Thus, the correct answer is B.

14.

¿Cuántos números complejos satisfacen la ecuación $z^5=\overline{z},$ donde $\overline{z}$ es el conjugado del número complejo $z$ ?

How many complex numbers satisfy the equation $z^5=\overline{z},$ where $\overline{z}$ is the conjugate of the complex number $z?$

$2$

$3$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

Tomar módulos da $|z|^5=|z|,$ así que $|z|=0$ o $|z|=1.$ El valor $z=0$ funciona, dando una solución.

Si $|z|=1,$ multiplica la ecuación por $z$ para obtener $z^6=z\overline{z}=|z|^2=1.$ Esto tiene $6$ raíces distintas, todas de módulo $1.$

En total hay $1+6=7$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking magnitudes gives $|z|^5=|z|,$ so $|z|=0$ or $|z|=1.$ The value $z=0$ works, giving one solution.

If $|z|=1,$ multiply the equation by $z$ to get $z^6=z\overline{z}=|z|^2=1.$ This has $6$ distinct roots, all of modulus $1.$

Altogether there are $1+6=7$ solutions.

Thus, the correct answer is E.

15.

Usain camina para hacer ejercicio zigzagueando a través de un campo rectangular de $100$ metros por $30$ metros, comenzando en el punto $A$ y terminando en el segmento $\overline{BC}.$ Quiere aumentar la distancia caminada zigzagueando como se muestra en la figura de abajo ( $APQRS$ ). ¿Qué ángulo $\theta=\angle PAB$ $=\angle QPC$ $=\angle RQB=\cdots$ producirá una longitud de $120$ metros? (No supongas que la trayectoria en zigzag tiene exactamente cuatro segmentos como se muestra; podría haber más o menos.)

Usain is walking for exercise by zigzagging across a $100$ -meter by $30$ -meter rectangular field, beginning at point $A$ and ending on the segment $\overline{BC}.$ He wants to increase the distance walked by zigzagging as shown in the figure below ( $APQRS$ ). What angle $\theta=\angle PAB$ $=\angle QPC$ $=\angle RQB=\cdots$ will produce a length that is $120$ meters? (Do not assume the zigzag path has exactly four segments as shown; there could be more or fewer.)

$\arccos\tfrac{5}{6}$

$\arccos\tfrac{4}{5}$

$\arccos\tfrac{3}{10}$

$\arcsin\tfrac{4}{5}$

$\arcsin\tfrac{5}{6}$

Conceptos:trigonometría triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Cada segmento del zigzag abarca todo el ancho $30,$ así que tiene longitud $\dfrac{30}{\sin\theta}$ y avanza $\dfrac{30}{\tan\theta}$ horizontalmente.

Sumando sobre todos los segmentos, la longitud total es $120$ y el avance horizontal total es $100.$ Su razón es $\begin{gathered} \dfrac{\text{length}}{\text{horizontal}}\\ {}=\dfrac{1/\sin\theta}{1/\tan\theta}\\ {}=\dfrac{1}{\cos\theta}\\ {}=\dfrac{120}{100}. \end{gathered}$

Por lo tanto $\cos\theta=\dfrac56,$ así que $\theta=\arccos\dfrac56.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every segment of the zigzag spans the full width $30,$ so it has length $\dfrac{30}{\sin\theta}$ and advances $\dfrac{30}{\tan\theta}$ horizontally.

Summing over all segments, the total length is $120$ and the total horizontal advance is $100.$ Their ratio is $\begin{gathered} \dfrac{\text{length}}{\text{horizontal}}\\ {}=\dfrac{1/\sin\theta}{1/\tan\theta}\\ {}=\dfrac{1}{\cos\theta}\\ {}=\dfrac{120}{100}. \end{gathered}$

Therefore $\cos\theta=\dfrac56,$ so $\theta=\arccos\dfrac56.$

Thus, the correct answer is A.

16.

Considera el conjunto de números complejos $z$ que satisfacen $|1+z+z^2|=4.$ El valor máximo de la parte imaginaria de $z$ puede escribirse en la forma $\dfrac{\sqrt{m}}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

Consider the set of complex numbers $z$ satisfying $|1+z+z^2|=4.$ The maximum value of the imaginary part of $z$ can be written in the form $\dfrac{\sqrt{m}}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Conceptos:número complejo optimización

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Escribe $z=x+yi.$ Entonces $1+z+z^2$ $=(1+x+x^2-y^2)$ $+y(1+2x)i,$ y la restricción es $\begin{gathered} (1+x+x^2-y^2)^2\\ {}+y^2(1+2x)^2=16. \end{gathered}$

Igualar a cero la derivada de $y$ respecto a $x$ se factoriza como $(1+2x)\bigl(P+2y^2\bigr)=0,$ donde $P=1+x+x^2-y^2.$ El factor $P+2y^2=0$ es imposible para $x,y$ reales, así que $x=-\tfrac12.$

Entonces $1+2x=0,$ así que la restricción se reduce a $\left(\tfrac34-y^2\right)^2=16.$ Tomando $\tfrac34-y^2=-4$ se obtiene $y^2=\tfrac{19}{4},$ así que el máximo es $y=\dfrac{\sqrt{19}}{2}.$

Aquí $m=19$ y $n=2,$ así que $m+n=21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write $z=x+yi.$ Then $1+z+z^2$ $=(1+x+x^2-y^2)$ $+y(1+2x)i,$ and the constraint is $\begin{gathered} (1+x+x^2-y^2)^2\\ {}+y^2(1+2x)^2=16. \end{gathered}$

Setting the derivative of $y$ with respect to $x$ to zero factors as $(1+2x)\bigl(P+2y^2\bigr)=0,$ where $P=1+x+x^2-y^2.$ The factor $P+2y^2=0$ is impossible for real $x,y,$ so $x=-\tfrac12.$

Then $1+2x=0,$ so the constraint reduces to $\left(\tfrac34-y^2\right)^2=16.$ Taking $\tfrac34-y^2=-4$ gives $y^2=\tfrac{19}{4},$ so the maximum is $y=\dfrac{\sqrt{19}}{2}.$

Here $m=19$ and $n=2,$ so $m+n=21.$

Thus, the correct answer is B.

17.

La rana Flora empieza en $0$ en la recta numérica y realiza una sucesión de saltos hacia la derecha. En cualquier salto, independientemente de los saltos anteriores, Flora salta una distancia entera positiva $m$ con probabilidad $\dfrac{1}{2^m}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que Flora acabe cayendo en $10$ ?

Flora the frog starts at $0$ on the number line and makes a sequence of jumps to the right. In any one jump, independent of previous jumps, Flora leaps a positive integer distance $m$ with probability $\dfrac{1}{2^m}.$ What is the probability that Flora will eventually land at $10?$

$\dfrac{5}{512}$

$\dfrac{45}{1024}$

$\dfrac{127}{1024}$

$\dfrac{511}{1024}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad recursiva recursión

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Sea $a_n$ la probabilidad de que Flora caiga alguna vez exactamente en $n,$ con $a_0=1.$ Condicionando sobre el primer salto, $a_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}\,a_{n-k}.$

Entonces $a_1=\tfrac12,$ $a_2=\tfrac12,$ y por inducción $a_n=\tfrac12$ para todo $n\ge 1:$ cada término nuevo promedia los valores anteriores, todos iguales a $\tfrac12.$

Por lo tanto la probabilidad de caer en $10$ es $\dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $a_n$ be the probability that Flora ever lands exactly on $n,$ with $a_0=1.$ Conditioning on the first jump, $a_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}\,a_{n-k}.$

Then $a_1=\tfrac12,$ $a_2=\tfrac12,$ and by induction $a_n=\tfrac12$ for all $n\ge 1:$ each new term averages the previous values, all equal to $\tfrac12.$

Hence the probability of landing on $10$ is $\dfrac12.$

Thus, the correct answer is E.

18.

Los círculos $C_1$ y $C_2$ tienen cada uno radio $1,$ y la distancia entre sus centros es $\tfrac12.$ El círculo $C_3$ es el mayor círculo tangente internamente a $C_1$ y $C_2.$ El círculo $C_4$ es tangente internamente a $C_1$ y $C_2$ y tangente externamente a $C_3.$ ¿Cuál es el radio de $C_4$ ?

Circle $C_1$ and $C_2$ each have radius $1,$ and the distance between their centers is $\tfrac12.$ Circle $C_3$ is the largest circle internally tangent to both $C_1$ and $C_2.$ Circle $C_4$ is internally tangent to both $C_1$ and $C_2$ and externally tangent to $C_3.$ What is the radius of $C_4?$

$\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{3}{28}$

$\dfrac{1}{9}$

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Coloca los centros en $O_1=\left(-\tfrac14,0\right)$ y $O_2=\left(\tfrac14,0\right).$ Por simetría $C_3$ tiene su centro en el origen, y la tangencia interna a $C_1$ da radio $1-\tfrac14=\tfrac34.$

Sea $C_4$ de radio $r,$ con centro en $(0,k)$ sobre el eje de simetría. La tangencia externa a $C_3$ da $k=\tfrac34+r,$ y la tangencia interna a $C_1$ da $\sqrt{\tfrac{1}{16}+k^2}=1-r.$

Sustituyendo, $\tfrac{1}{16}+\left(\tfrac34+r\right)^2=(1-r)^2,$ que se simplifica a $\tfrac72 r=\tfrac38,$ así que $r=\dfrac{3}{28}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put the centers at $O_1=\left(-\tfrac14,0\right)$ and $O_2=\left(\tfrac14,0\right).$ By symmetry $C_3$ is centered at the origin, and internal tangency to $C_1$ gives radius $1-\tfrac14=\tfrac34.$

Let $C_4$ have radius $r,$ centered at $(0,k)$ on the axis of symmetry. External tangency to $C_3$ gives $k=\tfrac34+r,$ and internal tangency to $C_1$ gives $\sqrt{\tfrac{1}{16}+k^2}=1-r.$

Substituting, $\tfrac{1}{16}+\left(\tfrac34+r\right)^2=(1-r)^2,$ which simplifies to $\tfrac72 r=\tfrac38,$ so $r=\dfrac{3}{28}.$

Thus, the correct answer is D.

19.

¿Cuál es el producto de todas las soluciones de la ecuación $\begin{gathered} \log_{7x}2023\cdot\log_{289x}2023\\ {}=\log_{2023x}2023? \end{gathered}$

What is the product of all the solutions to the equation $\begin{gathered} \log_{7x}2023\cdot\log_{289x}2023\\ {}=\log_{2023x}2023? \end{gathered}$

$(\log_{2023}7\cdot\log_{2023}289)^2$

$\log_{2023}7\cdot\log_{2023}289$

$1$

$\log_7 2023\cdot\log_{289}2023$

$(\log_7 2023\cdot\log_{289}2023)^2$

Conceptos:logaritmo Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2040

Solución:

Sea $a=\log_{2023}7$ y $b=\log_{2023}289.$ Como $2023=7\cdot 289,$ tenemos $a+b=1.$ Escribiendo $t=\log_{2023}x,$ cada logaritmo se vuelve un recíproco, y la ecuación se convierte en $(1+t)=(a+t)(b+t).$

Al desarrollar y usar $a+b=1,$ los términos lineales se cancelan, dejando $t^2+(ab-1)=0.$ Sus dos raíces satisfacen $t_1+t_2=0.$

Las soluciones correspondientes se multiplican dando $x_1x_2=2023^{t_1}\cdot 2023^{t_2}$ $=2023^{\,t_1+t_2}$ $=2023^0=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a=\log_{2023}7$ and $b=\log_{2023}289.$ Since $2023=7\cdot 289,$ we have $a+b=1.$ Writing $t=\log_{2023}x,$ each logarithm becomes a reciprocal, and the equation turns into $(1+t)=(a+t)(b+t).$

Expanding and using $a+b=1,$ the linear terms cancel, leaving $t^2+(ab-1)=0.$ Its two roots satisfy $t_1+t_2=0.$

The corresponding solutions multiply to $x_1x_2=2023^{t_1}\cdot 2023^{t_2}$ $=2023^{\,t_1+t_2}$ $=2023^0=1.$

Thus, the correct answer is C.

20.

A continuación se muestran las filas $1,2,3,4,$ y $5$ de un arreglo triangular de enteros.

$\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&3&&1&&\\ &1&&5&&5&&1&\\ 1&&7&&11&&7&&1 \end{array}$

Cada fila después de la primera se forma colocando un $1$ en cada extremo de la fila, y cada entrada interior es $1$ mayor que la suma de los dos números diagonalmente por encima de ella en la fila anterior. ¿Cuál es el dígito de las unidades de la suma de los $2023$ números de la fila $2023$ ?

Rows $1,2,3,4,$ and $5$ of a triangular array of integers are shown below.

$\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&3&&1&&\\ &1&&5&&5&&1&\\ 1&&7&&11&&7&&1 \end{array}$

Each row after the first row is formed by placing a $1$ at each end of the row, and each interior entry is $1$ greater than the sum of the two numbers diagonally above it in the previous row. What is the units digit of the sum of the $2023$ numbers in the $2023$ rd row?

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:recursión dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Sea $S_n$ la suma de la fila $n.$ Cada entrada interior es $1$ más que la suma de las dos entradas por encima de ella, y sumar sobre la fila da la recurrencia $S_n=2S_{n-1}+(n-2).$

Con $S_1=1,$ esto se resuelve como $S_n=2^n-n$ (verificación: $S_5=32-5=27$ $=1+7+11+7+1$ ).

Así que $S_{2023}=2^{2023}-2023.$ Como las potencias de $2$ tienen dígitos de las unidades que ciclan $2,4,8,6$ y $2023\equiv 3\pmod 4,$ $2^{2023}$ termina en $8.$ Entonces $8-3=5$ da dígito de las unidades $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $S_n$ be the sum of row $n.$ Each interior entry is $1$ more than the sum of the two entries above it, and summing over the row gives the recurrence $S_n=2S_{n-1}+(n-2).$

With $S_1=1,$ this solves to $S_n=2^n-n$ (check: $S_5=32-5=27$ $=1+7+11+7+1$ ).

So $S_{2023}=2^{2023}-2023.$ Since powers of $2$ cycle with units digits $2,4,8,6$ and $2023\equiv 3\pmod 4,$ $2^{2023}$ ends in $8.$ Then $8-3=5$ gives units digit $5.$

Thus, the correct answer is C.

21.

Si $A$ y $B$ son vértices de un poliedro, define la distancia $d(A,B)$ como el número mínimo de aristas del poliedro que hay que recorrer para conectar $A$ y $B.$ Por ejemplo, si $\overline{AB}$ es una arista del poliedro, entonces $d(A,B)=1,$ pero si $\overline{AC}$ y $\overline{CB}$ son aristas y $\overline{AB}$ no es una arista, entonces $d(A,B)=2.$ Sean $Q,$ $R,$ y $S$ vértices distintos elegidos al azar de un icosaedro regular (poliedro regular formado por $20$ triángulos equiláteros). ¿Cuál es la probabilidad de que $d(Q,R)\gt d(R,S)$ ?

If $A$ and $B$ are vertices of a polyhedron, define the distance $d(A,B)$ to be the minimum number of edges of the polyhedron one must traverse in order to connect $A$ and $B.$ For example, if $\overline{AB}$ is an edge of the polyhedron, then $d(A,B)=1,$ but if $\overline{AC}$ and $\overline{CB}$ are edges and $\overline{AB}$ is not an edge, then $d(A,B)=2.$ Let $Q,$ $R,$ and $S$ be randomly chosen distinct vertices of a regular icosahedron (regular polyhedron made up of $20$ equilateral triangles). What is the probability that $d(Q,R)\gt d(R,S)?$

$\dfrac{7}{22}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:teoría de grafos probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Fija $R.$ Entre los otros $11$ vértices del icosaedro, $5$ están a distancia $1,$ $5$ están a distancia $2,$ y $1$ (el antípoda) está a distancia $3.$

Al elegir $Q,S$ distintos y ordenados, la probabilidad de que $d(Q,R)=d(R,S)$ es $\dfrac{5\cdot 4+5\cdot 4}{11\cdot 10}=\dfrac{40}{110}=\dfrac{4}{11}.$

Por la simetría entre $Q$ y $S,$ $\begin{gathered} P(d(Q,R)\gt d(R,S))\\ {}=\dfrac{1-\tfrac{4}{11}}{2}\\ {}=\dfrac{7}{22}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Fix $R.$ Among the other $11$ vertices of the icosahedron, $5$ are at distance $1,$ $5$ are at distance $2,$ and $1$ (the antipode) is at distance $3.$

Choosing ordered distinct $Q,S,$ the probability that $d(Q,R)=d(R,S)$ is $\dfrac{5\cdot 4+5\cdot 4}{11\cdot 10}=\dfrac{40}{110}=\dfrac{4}{11}.$

By the symmetry between $Q$ and $S,$ $\begin{gathered} P(d(Q,R)\gt d(R,S))\\ {}=\dfrac{1-\tfrac{4}{11}}{2}\\ {}=\dfrac{7}{22}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

22.

Sea $f$ la única función definida sobre los enteros positivos tal que $\sum_{d\mid n} d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1$ para todo entero positivo $n,$ donde la suma se toma sobre todos los divisores positivos de $n.$ ¿Cuánto vale $f(2023)$ ?

Let $f$ be the unique function defined on the positive integers such that $\sum_{d\mid n} d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1$ for all positive integers $n,$ where the sum is taken over all positive divisors of $n.$ What is $f(2023)?$

$-1536$

$96$

$108$

$116$

$144$

Conceptos:factorización en primos recursión

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Poner $n=1$ da $f(1)=1.$ Para un primo $p,$ $n=p$ da $f(p)+p\cdot f(1)=1,$ así que $f(p)=1-p.$ Para $n=p^2,$ $f(p^2)+p\,f(p)+p^2 f(1)=1$ da $f(p^2)=1-p.$

Como la relación que la define es una convolución de Dirichlet de funciones multiplicativas, $f$ es multiplicativa. Con $2023=7\cdot 17^2,$ $\begin{gathered} f(2023)=f(7)\cdot f(17^2)\\ {}=(1-7)(1-17)\\ {}=(-6)(-16)\\ {}=96. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Setting $n=1$ gives $f(1)=1.$ For a prime $p,$ $n=p$ gives $f(p)+p\cdot f(1)=1,$ so $f(p)=1-p.$ For $n=p^2,$ $f(p^2)+p\,f(p)+p^2 f(1)=1$ gives $f(p^2)=1-p.$

Since the defining relation is a Dirichlet convolution of multiplicative functions, $f$ is multiplicative. With $2023=7\cdot 17^2,$ $\begin{gathered} f(2023)=f(7)\cdot f(17^2)\\ {}=(1-7)(1-17)\\ {}=(-6)(-16)\\ {}=96. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

23.

¿Cuántos pares ordenados de números reales positivos $(a,b)$ satisfacen la ecuación $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}=32ab? \end{gathered}$

How many ordered pairs of positive real numbers $(a,b)$ satisfy the equation $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}=32ab? \end{gathered}$

$0$

$1$

$2$

$3$

un número infinito

an infinite number

Conceptos:Desigualdad MA-MG

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Por AM-GM, $1+2a\ge 2\sqrt{2a},$ $2+2b\ge 4\sqrt{b},$ y $2a+b\ge 2\sqrt{2ab}.$ Multiplicando, $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}\ge 16\sqrt{2a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{2ab}\\ {}=32ab. \end{gathered}$

La igualdad requiere $1=2a,$ $2=2b,$ y $2a=b$ simultáneamente. Estas dan $a=\tfrac12,$ $b=1,$ que son consistentes, así que hay exactamente una solución.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By AM-GM, $1+2a\ge 2\sqrt{2a},$ $2+2b\ge 4\sqrt{b},$ and $2a+b\ge 2\sqrt{2ab}.$ Multiplying, $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}\ge 16\sqrt{2a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{2ab}\\ {}=32ab. \end{gathered}$

Equality requires $1=2a,$ $2=2b,$ and $2a=b$ simultaneously. These give $a=\tfrac12,$ $b=1,$ which are consistent, so there is exactly one solution.

Thus, the correct answer is B.

24.

Sea $K$ el número de sucesiones $A_1,A_2,\ldots,A_n$ tales que $n$ es un entero positivo menor o igual que $10,$ cada $A_i$ es un subconjunto de $\{1,2,3,\ldots,10\},$ y $A_{i-1}$ es un subconjunto de $A_i$ para cada $i$ entre $2$ y $n,$ inclusive. Por ejemplo, $\{\},$ $\{5,7\},$ $\{2,5,7\},$ $\{2,5,7\},$ $\{2,5,6,7,9\}$ es una de esas sucesiones, con $n=5.$ ¿Cuál es el residuo cuando $K$ se divide entre $10$ ?

Let $K$ be the number of sequences $A_1,A_2,\ldots,A_n$ such that $n$ is a positive integer less than or equal to $10,$ each $A_i$ is a subset of $\{1,2,3,\ldots,10\},$ and $A_{i-1}$ is a subset of $A_i$ for each $i$ between $2$ and $n,$ inclusive. For example, $\{\},$ $\{5,7\},$ $\{2,5,7\},$ $\{2,5,7\},$ $\{2,5,6,7,9\}$ is one such sequence, with $n=5.$ What is the remainder when $K$ is divided by $10?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:subconjuntos principio de multiplicación aritmética modular

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Para una longitud fija $n,$ cada elemento de $\{1,\ldots,10\}$ o bien nunca aparece o bien aparece por primera vez en uno de $A_1,\ldots,A_n,$ dando $n+1$ opciones. Por lo tanto hay $(n+1)^{10}$ cadenas de longitud $n.$

Sumando, $K=\sum_{n=1}^{10}(n+1)^{10}=\sum_{k=2}^{11}k^{10}.$ Módulo $10,$ los términos $k=2,\ldots,11$ se reducen a $4,9,6,5,6,9,4,1,0,1,$ que suman $45\equiv 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For a fixed length $n,$ each element of $\{1,\ldots,10\}$ independently either never appears or first appears in one of $A_1,\ldots,A_n,$ giving $n+1$ choices. Hence there are $(n+1)^{10}$ chains of length $n.$

Summing, $K=\sum_{n=1}^{10}(n+1)^{10}=\sum_{k=2}^{11}k^{10}.$ Modulo $10,$ the terms $k=2,\ldots,11$ reduce to $4,9,6,5,6,9,4,1,0,1,$ which sum to $45\equiv 5.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Existe una única sucesión de enteros $a_1,a_2,\cdots a_{2023}$ tal que $\begin{gathered} \tan 2023x\\ {}=\tiny\dfrac{a_1\tan x+a_3\tan^3 x+a_5\tan^5 x+\cdots+a_{2023}\tan^{2023}x}{1+a_2\tan^2 x+a_4\tan^4 x\cdots+a_{2022}\tan^{2022}x} \end{gathered}$ siempre que $\tan 2023x$ esté definido. ¿Cuánto vale $a_{2023}$ ?

There is a unique sequence of integers $a_1,a_2,\cdots a_{2023}$ such that $\begin{gathered} \tan 2023x\\ {}=\tiny\dfrac{a_1\tan x+a_3\tan^3 x+a_5\tan^5 x+\cdots+a_{2023}\tan^{2023}x}{1+a_2\tan^2 x+a_4\tan^4 x\cdots+a_{2022}\tan^{2022}x} \end{gathered}$ whenever $\tan 2023x$ is defined. What is $a_{2023}?$

$-2023$

$-2022$

$-1$

$1$

$2023$

Conceptos:Teorema de De Moivre teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Por De Moivre, $(\cos x+i\sin x)^{2023}$ $=\cos 2023x+i\sin 2023x.$ Al desarrollar el lado izquierdo y tomar la razón de la parte imaginaria a la real se obtiene $\tan 2023x$ como la función racional indicada de $\tan x$ tras dividir numerador y denominador entre $\cos^{2023}x.$

El coeficiente $a_{2023}$ es el coeficiente de $\tan^{2023}x$ en el numerador, que proviene del término $k=2023$ : $\begin{gathered} a_{2023}=(-1)^{(2023-1)/2}\binom{2023}{2023}\\ {}=(-1)^{1011}\\ {}=-1. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By De Moivre, $(\cos x+i\sin x)^{2023}$ $=\cos 2023x+i\sin 2023x.$ Expanding the left side and taking the ratio of imaginary to real parts gives $\tan 2023x$ as the stated rational function of $\tan x$ after dividing numerator and denominator by $\cos^{2023}x.$

The coefficient $a_{2023}$ is the coefficient of $\tan^{2023}x$ in the numerator, which comes from the $k=2023$ term: $\begin{gathered} a_{2023}=(-1)^{(2023-1)/2}\binom{2023}{2023}\\ {}=(-1)^{1011}\\ {}=-1. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.