Question

Un código de escaneo consiste en una cuadrícula de $7 \times 7$ cuadrados, con algunos de sus cuadrados coloreados de negro y el resto de blanco. Debe haber al menos un cuadrado de cada color en esta cuadrícula de $49$ cuadrados. Un código de escaneo se llama simétrico si su apariencia no cambia cuando todo el cuadrado se rota un múltiplo de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de su centro, ni cuando se refleja a través de una línea que une esquinas opuestas o una línea que une los puntos medios de lados opuestos. ¿Cuál es el número total de posibles códigos de escaneo simétricos?

A scanning code consists of a $7 \times 7$ grid of squares, with some of its squares colored black and the rest colored white. There must be at least one square of each color in this grid of $49$ squares. A scanning code is called symmetric if its look does not change when the entire square is rotated by a multiple of $90^\circ$ counterclockwise around its center, nor when it is reflected across a line joining opposite corners or a line joining midpoints of opposite sides. What is the total number of possible symmetric scanning codes?

$510$

$1022$

$8190$

$8192$

$65{,}534$

Respuesta: B

Conceptos:simetría conteo básico

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Las simetrías requeridas obligan a que cada cuadrado de una órbita de rotación-reflexión comparta un color

The required symmetries force every square in one rotation-reflection orbit to share a color

Pista grande:

Hay $10$ órbitas independientes, cada una libremente negra o blanca; excluye los códigos todo negro y todo blanco

There are $10$ independent orbits, each freely black or white; exclude the all-black and all-white codes

Solución:

Bajo el grupo de simetría del cuadrado, las $49$ celdas se dividen en órbitas, y todas las celdas de una órbita deben tener el mismo color. Demos a una celda coordenadas $(i,j)$ respecto del centro, donde $-3\le i,j\le3.$ Las rotaciones y reflexiones pueden cambiar signos e intercambiar las coordenadas, así que cada órbita tiene un representante con $0\le i\le j\le3.$ Hay $1+2+3+4=10$ pares de este tipo. Cada órbita puede ser negra o blanca, lo que da $2^{10}$ coloraciones, pero se excluyen las cuadrículas totalmente negra y totalmente blanca. Por tanto, hay $2^{10} - 2 = 1022$ códigos de escaneo simétricos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Under the symmetry group of the square, the $49$ cells break into orbits, and every cell in an orbit must have the same color. Give a cell coordinates $(i,j)$ relative to the center, where $-3\le i,j\le3.$ Rotations and reflections can change signs and interchange the coordinates, so each orbit has one representative with $0\le i\le j\le3.$ There are $1+2+3+4=10$ such pairs. Each orbit is black or white, giving $2^{10}$ colorings, but the all-black and all-white grids are excluded. So there are $2^{10} - 2 = 1022$ symmetric scanning codes.

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12A Problema 15

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años