Question

Un código de escaneo consiste en una cuadrícula de $7 \times 7$ cuadrados, con algunos de sus cuadrados coloreados de negro y el resto de blanco. Debe haber al menos un cuadrado de cada color en esta cuadrícula de $49$ cuadrados. Un código de escaneo se llama simétrico si su apariencia no cambia cuando todo el cuadrado se rota un múltiplo de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de su centro, ni cuando se refleja a través de una línea que une esquinas opuestas o una línea que une los puntos medios de lados opuestos. ¿Cuál es el número total de posibles códigos de escaneo simétricos?

A scanning code consists of a $7 \times 7$ grid of squares, with some of its squares colored black and the rest colored white. There must be at least one square of each color in this grid of $49$ squares. A scanning code is called symmetric if its look does not change when the entire square is rotated by a multiple of $90^\circ$ counterclockwise around its center, nor when it is reflected across a line joining opposite corners or a line joining midpoints of opposite sides. What is the total number of possible symmetric scanning codes?

$510$

$1022$

$8190$

$8192$

$65{,}534$

Solución:

Bajo el grupo de simetría del cuadrado, las $49$ celdas se dividen en órbitas, y cada celda de una órbita debe tener el mismo color. Clasificar las celdas por su distancia al centro produce exactamente $10$ órbitas que se pueden colorear independientemente. Cada órbita es negra o blanca, lo que da $2^{10}$ coloraciones, pero se excluyen las cuadrículas todo negro y todo blanco. Así que hay $2^{10} - 2 = 1022$ códigos de escaneo simétricos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Under the symmetry group of the square, the $49$ cells break into orbits, and every cell in an orbit must have the same color. Classifying cells by distance from the center yields exactly $10$ orbits that can be colored independently. Each orbit is black or white, giving $2^{10}$ colorings, but the all-black and all-white grids are excluded. So there are $2^{10} - 2 = 1022$ symmetric scanning codes.

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años