Question

Las raíces de $x^3+2x^2-x+3$ son $p$ , $q$ , y $r$ . Halla el valor de la siguiente expresión: $(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?$

The roots of $x^3+2x^2-x+3$ are $p$ , $q$ , and $r$ . What is the value of $(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?$

$64$

$75$

$100$

$125$

$144$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo polinomio

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

$p^2+4=(p-2i)(p+2i),$ así que el producto se relaciona con $P(2i)$ y $P(-2i),$ donde $P(x)=x^3+2x^2-x+3$

$p^2+4=(p-2i)(p+2i),$ so the product relates to $P(2i)$ and $P(-2i),$ where $P(x)=x^3+2x^2-x+3$

Pista grande:

$P(2i)$ y $P(-2i)$ son conjugados complejos; multiplícalos para obtener un número real

$P(2i)$ and $P(-2i)$ are complex conjugates; multiply them to get a real number

Solución:

Como $P(x)=(x-p)(x-q)(x-r),$ al agrupar $p^2+4=(p-2i)(p+2i)$ sobre todas las raíces se obtiene $\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i).$ Calculamos $P(2i)=-8i-8-2i+3$ $=-5-10i$ y $P(-2i)=8i-8+2i+3$ $=-5+10i.$ Su producto es $(-5)^2+10^2=25+100=125.$ Así, D es la respuesta correcta.

Since $P(x)=(x-p)(x-q)(x-r),$ grouping $p^2+4=(p-2i)(p+2i)$ over all roots gives $\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i).$ Compute $P(2i)=-8i-8-2i+3$ $=-5-10i$ and $P(-2i)=8i-8+2i+3$ $=-5+10i.$ Their product is $(-5)^2+10^2=25+100=125.$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años