2024 AMC 12A Problema 15

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 15 del 2024 AMC 12A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:número complejo polinomio

Nivel de dificultad: 1710

15.

Las raíces de $x^3+2x^2-x+3$ son $p$ , $q$ , y $r$ . Halla el valor de la siguiente expresión: $(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?$

The roots of $x^3+2x^2-x+3$ are $p$ , $q$ , and $r$ . What is the value of $(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?$

$64$

$75$

$100$

$125$

$144$

Solución:

Como $P(x)=(x-p)(x-q)(x-r),$ agrupar $p^2+4=(p-2i)(p+2i)$ sobre todas las raíces da $\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i).$ Calculamos $P(2i)=-8i-8-2i+3$ $=-5-10i$ y $P(-2i)=8i-8+2i+3$ $=-5+10i.$ Su producto es $(-5)^2+10^2=25+100=125.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $P(x)=(x-p)(x-q)(x-r),$ grouping $p^2+4=(p-2i)(p+2i)$ over all roots gives $\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i).$ Compute $P(2i)=-8i-8-2i+3$ $=-5-10i$ and $P(-2i)=8i-8+2i+3$ $=-5+10i.$ Their product is $(-5)^2+10^2=25+100=125.$ Thus, the correct answer is D.

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El Problema 15 en otros años

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