Question

Como se muestra en la figura, el segmento $\overline{AD}$ es trisecado por los puntos $B$ y $C$ de modo que $AB=BC=CD=2.$ Tres semicírculos de radio $1,$ $AEB,$ $BFC,$ y $CGD,$ tienen sus diámetros sobre $\overline{AD},$ y son tangentes a la recta $EG$ en $E,$ $F,$ y $G,$ respectivamente. Un círculo de radio $2$ tiene su centro en $F.$ El área de la región dentro del círculo pero fuera de los tres semicírculos, sombreada en la figura, se puede expresar en la forma

$\dfrac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$

donde $a,b,c,$ y $d$ son enteros positivos y $a$ y $b$ son primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b+c+d$ ?

As shown in the figure, line segment $\overline{AD}$ is trisected by points $B$ and $C$ so that $AB=BC=CD=2.$ Three semicircles of radius $1,$ $AEB,$ $BFC,$ and $CGD,$ have their diameters on $\overline{AD},$ and are tangent to line $EG$ at $E,$ $F,$ and $G,$ respectively. A circle of radius $2$ has its center on $F.$ The area of the region inside the circle but outside the three semicircles, shaded in the figure, can be expressed in the form

$\dfrac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$

where $a,b,c,$ and $d$ are positive integers and $a$ and $b$ are relatively prime. What is $a+b+c+d?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Solución:

Pon $A=(0,0),$ $\ B=(2,0),$ $\ C=(4,0),$ $\ D=(6,0),$ así que los semicírculos están centrados en $(1,0),(3,0),(5,0)$ y sus cúspides son $E=(1,1),$ $\ F=(3,1),$ $\ G=(5,1).$ El círculo tiene centro $F=(3,1)$ y radio $2,$ así que pasa por $E$ y $G,$ y tiene área $4\pi.$

El semicírculo del medio $BFC$ queda completamente dentro del círculo, quitando un área $\dfrac{\pi}{2}.$ Por simetría los semicírculos exteriores aportan cada uno el mismo solapamiento $R=\dfrac{7\pi}{12}-2+\dfrac{\sqrt3}{2}$ dentro del círculo.

El área sombreada es $4\pi-\dfrac{\pi}{2}-2R=\dfrac{7}{3}\pi-\sqrt3+4.$ Por lo tanto $a=7,\ b=3,\ c=3,\ d=4,$ así que $a+b+c+d=17.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Put $A=(0,0),$ $\ B=(2,0),$ $\ C=(4,0),$ $\ D=(6,0),$ so the semicircles are centered at $(1,0),(3,0),(5,0)$ and their tops are $E=(1,1),$ $\ F=(3,1),$ $\ G=(5,1).$ The circle has center $F=(3,1)$ and radius $2,$ so it passes through $E$ and $G,$ and has area $4\pi.$

The middle semicircle $BFC$ lies entirely inside the circle, removing area $\dfrac{\pi}{2}.$ By symmetry the outer semicircles each contribute the same overlap $R=\dfrac{7\pi}{12}-2+\dfrac{\sqrt3}{2}$ inside the circle.

The shaded area is $4\pi-\dfrac{\pi}{2}-2R=\dfrac{7}{3}\pi-\sqrt3+4.$ Hence $a=7,\ b=3,\ c=3,\ d=4,$ so $a+b+c+d=17.$

Thus, E is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años