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2019 AMC 12B Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2019 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Como se muestra en la figura, el segmento AD‾\overline{AD} es trisecado por los puntos BB y CC de modo que AB=BC=CD=2.AB=BC=CD=2. Tres semicírculos de radio 1,1, AEB,AEB, BFC,BFC, y CGD,CGD, tienen sus diámetros sobre AD‾,\overline{AD}, y son tangentes a la recta EGEG en E,E, F,F, y G,G, respectivamente. Un círculo de radio 22 tiene su centro en F.F. El área de la región dentro del círculo pero fuera de los tres semicírculos, sombreada en la figura, se puede expresar en la forma

ab⋅π−c+d, \dfrac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,

donde a,a, b,b, c,c, y dd son enteros positivos y aa y bb son primos entre sí. ¿Cuánto vale a+b+c+da+b+c+d?

As shown in the figure, line segment AD‾\overline{AD} is trisected by points BB and CC so that AB=BC=CD=2.AB=BC=CD=2. Three semicircles of radius 1,1, AEB,AEB, BFC,BFC, and CGD,CGD, have their diameters on AD‾,\overline{AD}, and are tangent to line EGEG at E,E, F,F, and G,G, respectively. A circle of radius 22 has its center on F.F. The area of the region inside the circle but outside the three semicircles, shaded in the figure, can be expressed in the form

ab⋅π−c+d, \dfrac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,

where a,a, b,b, c,c, and dd are positive integers and aa and bb are relatively prime. What is a+b+c+d?a+b+c+d?

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Respuesta: E
Conceptos:área del círculodescomposición de áreasgeometría analítica
Nivel de dificultad: 1830
Pista pequeña:

Coloca F=(3,1);F=(3,1); el círculo de radio 22 entonces pasa por EE y G,G, y el semicírculo del medio queda completamente dentro de él

Place F=(3,1);F=(3,1); the circle of radius 22 then passes through EE and G,G, and the middle semicircle lies entirely inside it

Pista grande:

Resta al área del círculo las partes de los tres semicírculos que caen dentro de él

Subtract from the circle’s area the parts of the three semicircles that fall inside it

Solución:

Pon A=(0,0),A=(0,0),  B=(2,0),\ B=(2,0),  C=(4,0),\ C=(4,0),  D=(6,0),\ D=(6,0), así que los semicírculos están centrados en (1,0),(3,0),(5,0)(1,0),(3,0),(5,0) y sus cúspides son E=(1,1),E=(1,1),  F=(3,1),\ F=(3,1),  G=(5,1).\ G=(5,1). El círculo tiene centro F=(3,1)F=(3,1) y radio 2,2, así que pasa por EE y G,G, y tiene área 4π.4\pi.

El semicírculo del medio BFCBFC queda completamente dentro del círculo, quitando un área π2.\dfrac{\pi}{2}. Para el semicírculo de la izquierda, el solapamiento empieza en EE e incluye su cuarto de círculo derecho, salvo la región que queda por debajo del círculo grande. El círculo grande corta al eje xx en x=3−3.x=3-\sqrt3. El área excluida es I=∫13−31 dx−∫13−34−(x−3)2 dx=2−32−π3. \begin{aligned} I &=\int_1^{3-\sqrt3}1\,dx\\ &\quad-\int_1^{3-\sqrt3} \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx\\ &=2-\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\pi}{3}. \end{aligned} Por lo tanto el solapamiento tiene área R=π4−I=7π12−2+32. \begin{aligned} R&=\dfrac{\pi}{4}-I\\ &=\dfrac{7\pi}{12}-2+\dfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned} Por simetría, el semicírculo de la derecha aporta el mismo solapamiento.

El área sombreada es 4π−π2−2R=73π−3+4. 4\pi-\dfrac{\pi}{2}-2R=\dfrac{7}{3}\pi-\sqrt3+4. Por lo tanto a=7, b=3, c=3, d=4,a=7,\ b=3,\ c=3,\ d=4, así que a+b+c+d=17.a+b+c+d=17.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Put A=(0,0),A=(0,0),  B=(2,0),\ B=(2,0),  C=(4,0),\ C=(4,0),  D=(6,0),\ D=(6,0), so the semicircles are centered at (1,0),(3,0),(5,0)(1,0),(3,0),(5,0) and their tops are E=(1,1),E=(1,1),  F=(3,1),\ F=(3,1),  G=(5,1).\ G=(5,1). The circle has center F=(3,1)F=(3,1) and radius 2,2, so it passes through EE and G,G, and has area 4π.4\pi.

The middle semicircle BFCBFC lies entirely inside the circle, removing area π2.\dfrac{\pi}{2}. For the left semicircle, the overlap starts at EE and includes its right-hand quarter-circle, except for the region below the large circle. The large circle meets the xx-axis at x=3−3.x=3-\sqrt3. The excluded area is I=∫13−31 dx−∫13−34−(x−3)2 dx=2−32−π3. \begin{aligned} I &=\int_1^{3-\sqrt3}1\,dx\\ &\quad-\int_1^{3-\sqrt3} \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx\\ &=2-\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\pi}{3}. \end{aligned} Therefore the overlap has area R=π4−I=7π12−2+32. \begin{aligned} R&=\dfrac{\pi}{4}-I\\ &=\dfrac{7\pi}{12}-2+\dfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned} By symmetry, the right semicircle contributes the same overlap.

The shaded area is 4π−π2−2R=73π−3+4. 4\pi-\dfrac{\pi}{2}-2R=\dfrac{7}{3}\pi-\sqrt3+4. Hence a=7, b=3, c=3, d=4,a=7,\ b=3,\ c=3,\ d=4, so a+b+c+d=17.a+b+c+d=17.

Thus, E is the correct answer.

Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

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