Question

Tres hojas de papel cuadradas idénticas, cada una con longitud de lado $6$ , se apilan una sobre otra. La hoja del medio se gira en sentido horario $30^\circ$ alrededor de su centro y la hoja de arriba se gira en sentido horario $60^\circ$ alrededor de su centro, lo que da como resultado el polígono de $24$ lados que se muestra en la figura de abajo. El área de este polígono se puede expresar en la forma $a - b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ no es divisible entre el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Three identical square sheets of paper each with side length $6$ are stacked on top of each other. The middle sheet is rotated clockwise $30^\circ$ about its center and the top sheet is rotated clockwise $60^\circ$ about its center, resulting in the $24$ -sided polygon shown in the figure below. The area of this polygon can be expressed in the form $a - b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c?$

$75$

$93$

$96$

$129$

$147$

Solución:

Como los tres cuadrados están girados $0^\circ,$ $30^\circ,$ y $60^\circ,$ la figura tiene simetría de orden $12$ . Sus $24$ vértices alternan cada $15^\circ$ : los vértices exteriores son las esquinas de los cuadrados a distancia $3\sqrt2$ del centro, y los vértices interiores son cruces de aristas a distancia $2\sqrt3.$

Al conectar el centro con los $24$ vértices, el polígono se divide en $24$ triángulos, cada uno con lados $3\sqrt2$ y $2\sqrt3$ y ángulo comprendido $15^\circ.$ El área total es $\begin{aligned} &24 \cdot \tfrac12 (3\sqrt2)(2\sqrt3)\sin 15^\circ \\ &= 72\sqrt6 \cdot \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}. \end{aligned}$

Esto se simplifica a $18\sqrt6(\sqrt6 - \sqrt2) = 108 - 36\sqrt3,$ así que $a + b + c = 108 + 36 + 3 = 147.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because the three squares are rotated by $0^\circ,$ $30^\circ,$ and $60^\circ,$ the figure has $12$ -fold symmetry. Its $24$ vertices alternate every $15^\circ$ : outer vertices are the square corners at distance $3\sqrt2$ from the center, and inner vertices are edge crossings at distance $2\sqrt3.$

Connecting the center to all $24$ vertices splits the polygon into $24$ triangles, each with sides $3\sqrt2$ and $2\sqrt3$ and included angle $15^\circ.$ The total area is $\begin{aligned} &24 \cdot \tfrac12 (3\sqrt2)(2\sqrt3)\sin 15^\circ \\ &= 72\sqrt6 \cdot \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}. \end{aligned}$

This simplifies to $18\sqrt6(\sqrt6 - \sqrt2) = 108 - 36\sqrt3,$ so $a + b + c = 108 + 36 + 3 = 147.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Fall Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años