Question

Supongamos que $a,$ $b,$ $c$ son enteros positivos tales que $a + b + c = 23$ y $\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}$ ¿Cuál es la suma de todos los valores distintos posibles de $a^2 + b^2 + c^2$ ?

Suppose $a,$ $b,$ $c$ are positive integers such that $a + b + c = 23$ and $\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}$ What is the sum of all possible distinct values of $a^2 + b^2 + c^2?$

$259$

$438$

$516$

$625$

$687$

Solución:

La suma de gcd igual a $9$ es grande, así que los números comparten factores comunes considerables. Al buscar entre las particiones de $23$ que cumplen la condición se obtienen exactamente dos tipos de solución.

La terna $(7, 7, 9)$ tiene suma de $\gcd$ igual a $7 + 1 + 1 = 9$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81$ $= 179.$ La terna $(3, 5, 15)$ tiene suma de $\gcd$ igual a $1 + 5 + 3 = 9$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25$ $+ 225 = 259.$

La suma de los valores distintos es $179 + 259 = 438.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The gcd sum of $9$ is large, so the numbers share substantial common factors. Searching the partitions of $23$ that meet the condition gives exactly two solution types.

The triple $(7, 7, 9)$ has $\gcd$ sum $7 + 1 + 1 = 9$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81$ $= 179.$ The triple $(3, 5, 15)$ has $\gcd$ sum $1 + 5 + 3 = 9$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25$ $+ 225 = 259.$

The sum of the distinct values is $179 + 259 = 438.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Fall Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años