Question

Se dibujan tres círculos de radio $s$ en el primer cuadrante del plano $xy$ . El primer círculo es tangente a ambos ejes, el segundo es tangente al primer círculo y al eje $x$ , y el tercero es tangente al primer círculo y al eje $y$ . Un círculo de radio $r \gt s$ es tangente a ambos ejes y al segundo y tercer círculos. ¿Cuánto vale $r/s$ ?

Three circles of radius $s$ are drawn in the first quadrant of the $xy$ -plane. The first circle is tangent to both axes, the second is tangent to the first circle and the $x$ -axis, and the third is tangent to the first circle and the $y$ -axis. A circle of radius $r \gt s$ is tangent to both axes and to the second and third circles. What is $r/s?$

$5$

$6$

$8$

$9$

$10$

Solución:

Coloca el centro del círculo grande en $(r, r)$ y el centro del segundo círculo pequeño en $(3s, s).$ Son tangentes externamente, así que la distancia entre centros es $r + s.$

Las separaciones horizontal y vertical son $r - 3s$ y $r - s,$ así que $(r + s)^2 = (r - 3s)^2 + (r - s)^2.$

Al desarrollar se obtiene $0 = r^2 - 10rs + 9s^2$ $= (r - 9s)(r - s).$ Como $r \ne s,$ obtenemos $r = 9s,$ así que $r/s = 9.$

Así, la respuesta correcta es D.

Put the big circle's center at $(r, r)$ and the second small circle's center at $(3s, s).$ They are externally tangent, so the distance between centers is $r + s.$

The horizontal and vertical gaps are $r - 3s$ and $r - s,$ so $(r + s)^2 = (r - 3s)^2 + (r - s)^2.$

Expanding gives $0 = r^2 - 10rs + 9s^2$ $= (r - 9s)(r - s).$ Since $r \ne s,$ we get $r = 9s,$ so $r/s = 9.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años