Question

Un cubo unitario se corta dos veces para formar tres prismas triangulares, dos de los cuales son congruentes, como se muestra en la Figura 1. Luego el cubo se corta de la misma manera a lo largo de las líneas discontinuas mostradas en la Figura 2. Esto crea nueve piezas. ¿Cuál es el volumen de la pieza que contiene el vértice $W$ ?

A unit cube is cut twice to form three triangular prisms, two of which are congruent, as shown in Figure 1. The cube is then cut in the same manner along the dashed lines shown in Figure 2. This creates nine pieces. What is the volume of the piece that contains vertex $W?$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Solución:

Cada uno de los dos conjuntos de cortes va desde una arista superior hasta la línea media de la cara inferior. Cerca de $W$ tallan una pirámide cuyo ápice es el vértice superior directamente encima de $W.$

Su base es un cuadrado de lado $\dfrac{1}{2}$ (una cuarta parte de la cara inferior) y su altura es la altura completa $1.$ Por lo tanto el volumen es $\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 (1) = \dfrac{1}{12}.$

Así, la respuesta correcta es A.

The two sets of cuts each run from a top edge down to the midline of the bottom face. Near $W$ they carve out a pyramid whose apex is the top vertex directly above $W.$

Its base is a square of side $\dfrac{1}{2}$ (a quarter of the bottom face) and its altitude is the full height $1.$ Therefore the volume is $\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 (1) = \dfrac{1}{12}.$

Thus, the correct answer is A.

2005 AMC 12A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años