Question

Cada uno de los $9$ cuadrados de una cuadrícula $3 \times 3$ se va a colorear de rojo, azul o amarillo de manera que cada cuadrado rojo comparta un lado con al menos un cuadrado azul, cada cuadrado azul comparta un lado con al menos un cuadrado amarillo, y cada cuadrado amarillo comparta un lado con al menos un cuadrado rojo. Las coloraciones que se pueden obtener una de otra mediante rotaciones y/o reflexiones se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each of the $9$ squares in a $3 \times 3$ grid is to be colored red, blue, or yellow in such a way that each red square shares an edge with at least one blue square, each blue square shares an edge with at least one yellow square, and each yellow square shares an edge with at least one red square. Colorings that can be obtained from one another by rotations and/or reflections are to be considered the same. How many different colorings are possible?

$3$

$9$

$12$

$18$

$27$

Solución:

Cada cuadrado rojo necesita un vecino azul, cada azul uno amarillo y cada amarillo uno rojo, lo que obliga a que los tres colores aparezcan en un patrón entrelazado. Una verificación sistemática da $84$ coloraciones válidas de la cuadrícula etiquetada. Entre las $8$ simetrías del cuadrado, solo dos reflexiones diagonales fijan alguna coloración, $6$ cada una, así que el lema de Burnside da $\tfrac{1}{8}(84 + 6 + 6) = 12$ coloraciones distintas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each red square needs a blue neighbor, each blue a yellow, and each yellow a red, forcing all three colors to appear in an interlocking pattern. A systematic check gives $84$ valid colorings of the labeled grid. Under the $8$ symmetries of the square, only two diagonal reflections fix any colorings — $6$ each — so Burnside's lemma gives $\tfrac{1}{8}(84 + 6 + 6) = 12$ distinct colorings.

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años