Question

Cada uno de los $9$ cuadrados de una cuadrícula $3 \times 3$ se va a colorear de rojo, azul o amarillo de manera que cada cuadrado rojo comparta un lado con al menos un cuadrado azul, cada cuadrado azul comparta un lado con al menos un cuadrado amarillo, y cada cuadrado amarillo comparta un lado con al menos un cuadrado rojo. Las coloraciones que se pueden obtener una de otra mediante rotaciones y/o reflexiones se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each of the $9$ squares in a $3 \times 3$ grid is to be colored red, blue, or yellow in such a way that each red square shares an edge with at least one blue square, each blue square shares an edge with at least one yellow square, and each yellow square shares an edge with at least one red square. Colorings that can be obtained from one another by rotations and/or reflections are to be considered the same. How many different colorings are possible?

$3$

$9$

$12$

$18$

$27$

Respuesta: C

Conceptos:Lema de Burnside análisis por casos

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Todos los colores deben aparecer, y las condiciones cíclicas rojo $\to$ azul $\to$ amarillo $\to$ rojo restringen fuertemente la disposición.

Every color must appear, and the cyclic conditions red $\to$ blue $\to$ yellow $\to$ red tightly constrain the layout

Pista grande:

Cuenta todas las coloraciones válidas de la cuadrícula fija (etiquetada) y luego reduce por las $8$ rotaciones y reflexiones usando el lema de Burnside.

Count all valid colorings of the fixed (labeled) grid, then reduce by the $8$ rotations and reflections using Burnside’s lemma

Solución:

Primero contamos las coloraciones de la cuadrícula con posiciones etiquetadas. Al comprobar sucesivamente las $27$ filas posibles y rechazar una fila en cuanto una casilla cuyos vecinos ya se conocen carece del color siguiente requerido, se obtiene el siguiente conteo completo según las cantidades de casillas rojas, azules y amarillas: $\begin{array}{c|c} (\#R,\#B,\#Y)&\text{coloraciones válidas}\\ \hline (2,4,3)&16\\ (3,2,4)&16\\ (3,3,3)&36\\ (4,3,2)&16 \end{array}$ Así, la identidad fija $16+16+36+16=84$ coloraciones.

Para las otras simetrías, los números de coloraciones fijas son $0$ para cada rotación no trivial, $6$ para cada reflexión respecto a un eje horizontal o vertical y $0$ para cada reflexión diagonal. (Para una reflexión axial, una comprobación directa de las tres filas palindrómicas da las $6$ posibilidades). Por tanto, el lema de Burnside da $\frac{84+2\cdot6}{8}=12.$

Así, la respuesta correcta es C.

First count colorings of the grid with its positions labeled. Checking the $27$ possible rows in succession and rejecting a row as soon as a square whose neighbors are now known lacks its required next color gives the following complete count by the numbers of red, blue, and yellow squares: $\begin{array}{c|c} (\#R,\#B,\#Y)&\text{valid colorings}\\ \hline (2,4,3)&16\\ (3,2,4)&16\\ (3,3,3)&36\\ (4,3,2)&16 \end{array}$ Thus the identity symmetry fixes $16+16+36+16=84$ colorings.

For the other symmetries, the fixed-coloring counts are $0$ for each nontrivial rotation, $6$ for each reflection across a horizontal or vertical axis, and $0$ for each diagonal reflection. (For an axis reflection, a direct check of the three palindromic rows gives the $6$ possibilities.) Therefore Burnside’s lemma gives $\frac{84+2\cdot6}{8}=12.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B Problema 17

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años