2025 AMC 12B — Problemas y examen en línea cronometrado

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1:15:00

1.

Las instrucciones de una bolsa de $350$ gramos de granos de café dicen que preparar correctamente una taza grande de café de filtro requiere $20$ gramos de granos de café. ¿Cuál es la mayor cantidad de tazas grandes de café bien preparadas que se pueden hacer con los granos de esa bolsa?

The instructions on a $350$ -gram bag of coffee beans say that proper brewing of a large mug of pour-over coffee requires $20$ grams of coffee beans. What is the greatest number of properly brewed large mugs of coffee that can be made from the coffee beans in that bag?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Respuesta: B

Conceptos:funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 890

Solución:

Cada taza usa $20$ gramos, y $\dfrac{350}{20} = 17.5.$ Solo se pueden preparar tazas completas, así que la mayor cantidad es $17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each mug uses $20$ grams, and $\dfrac{350}{20} = 17.5.$ Only complete mugs can be brewed, so the greatest number is $17.$

Thus, the correct answer is B.

2.

Jerry escribió el dígito de las unidades de cada uno de los primeros $2025$ cuadrados positivos: $1, 4, 9, 6, 5, 6, \ldots.$ ¿Cuál es la suma de todos los números que Jerry escribió?

Jerry wrote down the ones digit of each of the first $2025$ positive squares: $1, 4, 9, 6, 5, 6, \ldots.$ What is the sum of all the numbers Jerry wrote down?

$9025$

$9070$

$9090$

$9115$

$9160$

Respuesta: D

Conceptos:dígito de las unidades reconocimiento de patrones sumatoria

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Los dígitos de las unidades de $1^2, 2^2, \ldots, 10^2$ son $1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0,$ que suman $45.$ Los $2025$ términos contienen $202$ bloques completos ( $2020$ términos) más $5$ adicionales con dígitos $1, 4, 9, 6, 5$ que suman $25.$ El total es $202 \cdot 45 + 25 = 9090 + 25$ $= 9115.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The ones digits of $1^2, 2^2, \ldots, 10^2$ are $1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0,$ which sum to $45.$ The $2025$ terms contain $202$ full blocks ( $2020$ terms) plus $5$ more with digits $1, 4, 9, 6, 5$ summing to $25.$ The total is $202 \cdot 45 + 25 = 9090 + 25$ $= 9115.$

Thus, the correct answer is D.

3.

¿Cuál es el valor de $i(i-1)(i-2)(i-3),$ donde $i = \sqrt{-1}$ ?

What is the value of $i(i-1)(i-2)(i-3),$ where $i = \sqrt{-1}?$

$6 - 5i$

$-10i$

$10i$

$-10$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

$i(i-1) = i^2 - i = -1 - i,$ y $(i-2)(i-3) = i^2 - 5i + 6$ $= 5 - 5i.$ Entonces $\begin{gathered} (-1-i)(5-5i) = -5 \\ {}+ 5i - 5i \\ {}+ 5i^2 \\ = -5 - 5 = -10. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

$i(i-1) = i^2 - i = -1 - i,$ and $(i-2)(i-3) = i^2 - 5i + 6$ $= 5 - 5i.$ Then $\begin{gathered} (-1-i)(5-5i) = -5 \\ {}+ 5i - 5i \\ {}+ 5i^2 \\ = -5 - 5 = -10. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

4.

El valor del número de dos dígitos $\underline{a}\,\underline{b}$ en base siete es igual al valor del número de dos dígitos $\underline{b}\,\underline{a}$ en base nueve. ¿Cuánto vale $a + b$ ?

The value of the two-digit number $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven equals the value of the two-digit number $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine. What is $a + b?$

$7$

$9$

$10$

$11$

$14$

Respuesta: A

Conceptos:base numérica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Al igualar $7a + b = 9b + a$ se obtiene $6a = 8b,$ así que $3a = 4b.$ Los dígitos son $a = 4, b = 3,$ que se verifican pues $43_7 = 31 = 34_9.$ Por lo tanto $a + b = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Setting $7a + b = 9b + a$ gives $6a = 8b,$ so $3a = 4b.$ The digits are $a = 4, b = 3,$ which check out since $43_7 = 31 = 34_9.$ Hence $a + b = 7.$

Thus, the correct answer is A.

5.

Los enteros positivos $x$ y $y$ satisfacen la ecuación $57x + 22y = 400.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $x + y$ ?

Positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $57x + 22y = 400.$ What is the least possible value of $x + y?$

$10$

$11$

$13$

$14$

$15$

Respuesta: E

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1290

Solución:

Módulo $22,$ la ecuación da $13x \equiv 4,$ así que $x \equiv 2 \pmod{22}.$ Con $57x \lt 400,$ la única opción es $x = 2,$ lo que da $22y = 286,$ por lo que $y = 13.$ Entonces $x + y = 15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Modulo $22,$ the equation gives $13x \equiv 4,$ so $x \equiv 2 \pmod{22}.$ With $57x \lt 400,$ the only option is $x = 2,$ which gives $22y = 286,$ so $y = 13.$ Then $x + y = 15.$

Thus, the correct answer is E.

6.

Emmy le dice a Max: "Hoy encargué $36$ sudaderas del club de matemáticas." Max pregunta: "¿Cuánto costó cada camiseta?" Emmy responde: "Te doy una pista. El costo total fue $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},$ donde $A$ y $B$ son dígitos y $A \neq 0.$ " Tras una pausa, Max dice: "Fue un buen precio." ¿Cuánto vale $A + B$ ?

Emmy says to Max, "I ordered $36$ math club sweatshirts today." Max asks, "How much did each shirt cost?" Emmy responds, "I'll give you a hint. The total cost was $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},$ where $A$ and $B$ are digits and $A \neq 0.$ " After a pause, Max says, "That was a good price." What is $A + B?$

$7$

$8$

$11$

$14$

$15$

Respuesta: C

Conceptos:valor posicional divisibilidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

En centavos, el total es $10000A + 1110B + A$ $= 10001A + 1110B,$ que debe ser múltiplo de $36.$ Como $10001 \equiv 29$ y $1110 \equiv 30 \pmod{36},$ la condición es $29A + 30B \equiv 0,$ es decir $7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.$ La única solución con dígitos y $A \neq 0$ es $A = 6, B = 5$ ( $7 \cdot 6 + 6 \cdot 5 = 72$ ), que da $\$655.56 = 36 \times \$18.21.$ Así que $A + B = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total in cents is $10000A + 1110B + A$ $= 10001A + 1110B,$ which must be a multiple of $36.$ Since $10001 \equiv 29$ and $1110 \equiv 30 \pmod{36},$ the condition is $29A + 30B \equiv 0,$ i.e. $7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.$ The only digit solution with $A \neq 0$ is $A = 6, B = 5$ ( $7 \cdot 6 + 6 \cdot 5 = 72$ ), giving $\$655.56 = 36 \times \$18.21.$ So $A + B = 11.$

Thus, the correct answer is C.

7.

¿Cuál es el valor de la siguiente suma?

$\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}?$

What is the value of

$\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}?$

$\dfrac{3}{4}$

$1 - \dfrac{1}{\log_2 255}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{15}{16}$

$1$

Respuesta: C

Conceptos:telescópica logaritmo

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

Sea $a_n = \log_2 n.$ El numerador es igual a $a_{n+1} - a_n,$ así que cada término es $\dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}.$ Al telescopiar desde $n = 2$ hasta $255$ queda $\dfrac{1}{\log_2 2} - \dfrac{1}{\log_2 256} = 1 - \dfrac{1}{8}$ $= \dfrac{7}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a_n = \log_2 n.$ The numerator equals $a_{n+1} - a_n,$ so each term is $\dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}.$ Telescoping from $n = 2$ to $255$ leaves $\dfrac{1}{\log_2 2} - \dfrac{1}{\log_2 256} = 1 - \dfrac{1}{8}$ $= \dfrac{7}{8}.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Existen enteros $a$ y $b$ tales que el polinomio $x^3 - 5x^2 + ax + b$ tiene a $4 + \sqrt{5}$ como raíz. ¿Cuánto vale $a + b$ ?

There are integers $a$ and $b$ such that the polynomial $x^3 - 5x^2 + ax + b$ has $4 + \sqrt{5}$ as a root. What is $a + b?$

$13$

$17$

$20$

$30$

$68$

Respuesta: C

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio radical

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

El conjugado $4 - \sqrt{5}$ también es raíz, y estos dos son las raíces de $x^2 - 8x + 11.$ La tercera raíz $r$ satisface $8 + r = 5,$ así que $r = -3.$ Entonces $(x^2 - 8x + 11)(x + 3)$ $= x^3 - 5x^2 - 13x + 33,$ lo que da $a = -13$ y $b = 33,$ por lo que $a + b = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The conjugate $4 - \sqrt{5}$ is also a root, and these two are the roots of $x^2 - 8x + 11.$ The third root $r$ satisfies $8 + r = 5,$ so $r = -3.$ Then $(x^2 - 8x + 11)(x + 3)$ $= x^3 - 5x^2 - 13x + 33,$ giving $a = -13$ and $b = 33,$ so $a + b = 20.$

Thus, the correct answer is C.

9.

¿Cuál es el dígito de las decenas de $6^{6^6}$ ?

What is the tens digit of $6^{6^6}?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Respuesta: C

Conceptos:exponenciación modular dígitos

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Aquí $6^6 = 46656.$ Para $n \ge 2,$ los dos últimos dígitos de $6^n$ se repiten con periodo $5$ recorriendo $36, 16, 96, 76, 56.$ Como $46656 \equiv 1 \pmod 5,$ $6^{46656}$ termina en $56,$ así que el dígito de las decenas es $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Here $6^6 = 46656.$ For $n \ge 2,$ the last two digits of $6^n$ cycle with period $5$ through $36, 16, 96, 76, 56.$ Since $46656 \equiv 1 \pmod 5,$ $6^{46656}$ ends in $56,$ so the tens digit is $5.$

Thus, the correct answer is C.

10.

La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo $30\text{-}60\text{-}90$ queda dividida en dos segmentos de longitudes $x \lt y$ por la mediana al lado más corto del triángulo. ¿Cuál es la razón $\dfrac{x}{x+y}$ ?

The altitude to the hypotenuse of a $30\text{-}60\text{-}90$ right triangle is divided into two segments of lengths $x \lt y$ by the median to the shortest side of the triangle. What is the ratio $\dfrac{x}{x+y}?$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{11}$

$\dfrac{4\sqrt{3}}{15}$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo rectángulo especial geometría analítica mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Toma $C = (0,0)$ , $A = (\sqrt{3}, 0)$ , $B = (0, 1)$ , de modo que $AB$ es la hipotenusa y $BC$ es el lado más corto. La altura desde $C$ corta a $AB$ en $H = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{4}, \tfrac{3}{4}\right)$ . La mediana desde $A$ hasta el punto medio del lado más corto $M = \left(0, \tfrac{1}{2}\right)$ cruza la altura en $P = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{7}, \tfrac{3}{7}\right)$ . Esto divide la altura en $CP = \tfrac{2\sqrt{3}}{7} = \tfrac{4\sqrt{3}}{14}$ , $PH = \tfrac{3\sqrt{3}}{14}$ , así que $x = \tfrac{3\sqrt{3}}{14}$ , $\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{3}{7}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Take $C = (0,0),$ $A = (\sqrt{3}, 0),$ $B = (0, 1),$ so $AB$ is the hypotenuse and $BC$ is the shortest side. The altitude from $C$ meets $AB$ at $H = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{4}, \tfrac{3}{4}\right).$ The median from $A$ to $M = \left(0, \tfrac{1}{2}\right)$ crosses the altitude at $P = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{7}, \tfrac{3}{7}\right).$ This splits the altitude into $CP = \tfrac{2\sqrt{3}}{7} = \tfrac{4\sqrt{3}}{14}$ and $PH = \tfrac{3\sqrt{3}}{14},$ so $x = \tfrac{3\sqrt{3}}{14}$ and $\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{3}{7}.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Nueve atletas, no habiendo dos de la misma estatura, se presentan a las pruebas del equipo de baloncesto. Uno por uno, sacan al azar una muñequera, sin reemplazo, de una bolsa que contiene $3$ muñequeras azules, $3$ rojas y $3$ verdes. Se dividen en un grupo azul, un grupo rojo y un grupo verde. Al miembro más alto de cada grupo se le nombra capitán del grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que los capitanes de grupo sean los tres atletas más altos?

Nine athletes, no two of whom are the same height, try out for the basketball team. One at a time, they draw a wristband at random, without replacement, from a bag containing $3$ blue bands, $3$ red bands, and $3$ green bands. They are divided into a blue group, a red group, and a green group. The tallest member of each group is named the group captain. What is the probability that the group captains are the three tallest athletes?

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{9}{28}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1590

Solución:

Cada grupo tiene $3$ plazas. Los tres atletas más altos son los capitanes precisamente cuando caen en tres grupos diferentes. Al colocarlos uno por uno en las $9$ plazas, el segundo debe evitar el grupo del primero ( $6$ de las $8$ plazas restantes) y el tercero debe evitar ambos grupos usados ( $3$ de las $7$ plazas restantes). La probabilidad es $\dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{28}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each group has $3$ slots. The three tallest athletes are the captains precisely when they fall into three different groups. Placing them one at a time into the $9$ slots, the second must avoid the first's group ( $6$ of the remaining $8$ slots) and the third must avoid both used groups ( $3$ of the remaining $7$ slots). The probability is $\dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{28}.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Abajo se muestra el limpiaparabrisas del lado del conductor de un autobús grande.

El brazo $\overline{AB}$ pivota de un lado a otro alrededor del punto $A,$ barriendo un arco de $60^\circ,$ simétrico respecto a la recta vertical que pasa por $A.$ La escobilla $\overline{CD}$ está unida a $B$ por su punto medio y permanece vertical mientras el brazo se mueve. El brazo mide $3$ pies de largo, y la escobilla mide $3.5$ pies de alto. ¿Cuál es el área del parabrisas limpiada por el limpiaparabrisas, en pies cuadrados, redondeada a la centésima más cercana? (Supón que el parabrisas es una superficie plana vertical.)

The windshield wiper on the driver's side of a large bus is depicted below.

Arm $\overline{AB}$ pivots back and forth around point $A,$ sweeping out an arc of $60^\circ,$ symmetric about the vertical line through $A.$ The wiper blade $\overline{CD}$ is attached to $B$ at its midpoint and stays vertical as the arm moves. The arm is $3$ feet long, and the wiper blade is $3.5$ feet tall. What is the area of the windshield cleaned by the wiper, in square feet, to the nearest hundredth? (Assume that the windshield is a flat vertical surface.)

$9.68$

$10.14$

$10.50$

$11.32$

$12.00$

Respuesta: C

Conceptos:área arco

Nivel de dificultad: 1690

Solución:

Pon $A$ en el origen. Entonces $B = (3\sin\theta, 3\cos\theta)$ para $\theta \in [-30^\circ, 30^\circ],$ así que la coordenada horizontal de $B$ recorre $[-1.5, 1.5],$ un ancho de $3.$ En cada posición horizontal pasa exactamente una escobilla vertical de altura $3.5,$ así que por el principio de Cavalieri el área limpiada es $3.5 \times 3 = 10.5$ pies cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put $A$ at the origin. Then $B = (3\sin\theta, 3\cos\theta)$ for $\theta \in [-30^\circ, 30^\circ],$ so the horizontal coordinate of $B$ ranges over $[-1.5, 1.5],$ a width of $3.$ At each horizontal position exactly one vertical blade of height $3.5$ passes through, so by Cavalieri's principle the cleaned area is $3.5 \times 3 = 10.5$ square feet.

Thus, the correct answer is C.

13.

Un círculo se ha dividido en $6$ sectores de distintos tamaños. Luego $2$ de los sectores se pintan de rojo, $2$ de verde y $2$ de azul, de modo que dos sectores vecinos nunca se pintan del mismo color. Abajo se muestra una de esas coloraciones.

¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

A circle has been divided into $6$ sectors of different sizes. Then $2$ of the sectors are painted red, $2$ painted green, and $2$ painted blue so that no two neighboring sectors are painted the same color. One such coloring is shown below.

How many different colorings are possible?

$12$

$16$

$18$

$24$

$28$

Respuesta: D

Conceptos:teoría de grafos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Los dos sectores de cada color deben formar un par no adyacente, así que una coloración es una forma de dividir los $6$ sectores dispuestos en ciclo en tres pares no adyacentes junto con una asignación de los tres colores. Los pares no adyacentes son las aristas del complemento del $6$ -ciclo, el prisma triangular, que tiene $4$ emparejamientos perfectos. Asignar los tres colores de $3!$ maneras da $4 \times 6 = 24$ coloraciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two sectors of each color must be a non-adjacent pair, so a coloring is a way to split the $6$ cyclic sectors into three non-adjacent pairs together with an assignment of the three colors. The non-adjacent pairs are the edges of the complement of the $6$ -cycle, the triangular prism, which has $4$ perfect matchings. Assigning the three colors in $3!$ ways gives $4 \times 6 = 24$ colorings.

Thus, the correct answer is D.

14.

Considera una sucesión decreciente de $n$ enteros positivos $x_1 \gt x_2 \gt \cdots \gt x_n$ que satisface las dos condiciones siguientes:

• El promedio (media aritmética) de los primeros $3$ términos de la sucesión es $2025.$

• Para todo $4 \le k \le n,$ el promedio de los primeros $k$ términos de la sucesión es $1$ menos que el promedio de los primeros $k-1$ términos de la sucesión.

¿Cuál es el mayor valor posible de $n$ ?

Consider a decreasing sequence of $n$ positive integers $x_1 \gt x_2 \gt \cdots \gt x_n$ that satisfies the following two conditions:

• The average (arithmetic mean) of the first $3$ terms in the sequence is $2025.$

• For all $4 \le k \le n,$ the average of the first $k$ terms in the sequence is $1$ less than the average of the first $k-1$ terms in the sequence.

What is the greatest possible value of $n?$

$1013$

$1014$

$1016$

$2016$

$2025$

Respuesta: B

Conceptos:media sucesión aritmética acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

El promedio de los primeros $k$ términos es $A_k = 2028 - k$ para $k \ge 3,$ así que la suma parcial es $S_k = k(2028 - k).$ Para $k \ge 4,$ $x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,$ que es positivo exactamente cuando $k \le 1014.$ Un inicio válido como $x_1, x_2, x_3 = 2030, 2023, 2022$ mantiene toda la sucesión estrictamente decreciente, así que el mayor $n$ posible es $1014.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The average of the first $k$ terms is $A_k = 2028 - k$ for $k \ge 3,$ so the partial sum is $S_k = k(2028 - k).$ For $k \ge 4,$ $x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,$ which is positive exactly when $k \le 1014.$ A valid start such as $x_1, x_2, x_3 = 2030, 2023, 2022$ keeps the whole sequence strictly decreasing, so the greatest possible $n$ is $1014.$

Thus, the correct answer is B.

15.

Un recipiente tiene una base cuadrada de $1 \times 1$ , una abertura cuadrada superior de $3 \times 3$ y cuatro caras trapezoidales congruentes, como se muestra. Empezando con el recipiente vacío, una manguera que suministra agua a ritmo constante tarda $35$ minutos en llenar el recipiente hasta la línea media de los trapecios.

¿Cuántos minutos más tardará en llenar el resto del recipiente?

A container has a $1 \times 1$ square bottom, a $3 \times 3$ open square top, and four congruent trapezoidal sides, as shown. Starting when the container is empty, a hose that runs water at a constant rate takes $35$ minutes to fill the container up to the midline of the trapezoids.

How many more minutes will it take to fill the remainder of the container?

$70$

$85$

$90$

$95$

$105$

Respuesta: D

Conceptos:volumen semejanza razón y proporción

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

A la fracción de altura $t$ la sección cuadrada tiene lado $1 + 2t,$ así que el volumen llenado hasta la altura $t$ es $\int_0^t (1 + 2u)^2\,du.$ Hasta la línea media $\left(t = \tfrac{1}{2}\right)$ esto es $\tfrac{7}{6},$ y el volumen total es $\tfrac{13}{3}.$ El volumen restante es $\tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{6} = \tfrac{19}{6},$ que es $\tfrac{19}{7}$ veces la primera parte, así que el resto tarda $35 \cdot \tfrac{19}{7} = 95$ minutos más.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

At height fraction $t$ the square cross-section has side $1 + 2t,$ so the volume filled up to height $t$ is $\int_0^t (1 + 2u)^2\,du.$ Up to the midline $\left(t = \tfrac{1}{2}\right)$ this is $\tfrac{7}{6},$ and the full volume is $\tfrac{13}{3}.$ The remaining volume is $\tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{6} = \tfrac{19}{6},$ which is $\tfrac{19}{7}$ times the first part. So the remainder takes $35 \cdot \tfrac{19}{7} = 95$ more minutes.

Thus, the correct answer is D.

16.

Un reloj analógico empieza a medianoche y funciona durante $2025$ minutos antes de detenerse. Cuando el reloj se detiene, ¿cuál es la tangente del ángulo agudo entre la manecilla de las horas y la manecilla de los minutos?

An analog clock starts at midnight and runs for $2025$ minutes before stopping. What is the tangent of the acute angle between the hour hand and the minute hand when the clock stops?

$0$

$\sqrt{2} - 1$

$2 - \sqrt{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$3 - \sqrt{2}$

Respuesta: B

Conceptos:reloj identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

$2025$ minutos son $33$ horas $45$ minutos, que módulo $12$ horas equivale a $9{:}45.$ La manecilla de los minutos apunta a $270^\circ$ y la de las horas a $9.75 \times 30^\circ = 292.5^\circ,$ así que el ángulo agudo entre ellas es $22.5^\circ.$ Usando el valor del ángulo mitad, $\tan 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

$2025$ minutes is $33$ hours $45$ minutes, which modulo $12$ hours reads $9{:}45.$ The minute hand points at $270^\circ$ and the hour hand at $9.75 \times 30^\circ = 292.5^\circ,$ so the acute angle between them is $22.5^\circ.$ Using the half-angle value, $\tan 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Cada uno de los $9$ cuadrados de una cuadrícula $3 \times 3$ se va a colorear de rojo, azul o amarillo de manera que cada cuadrado rojo comparta un lado con al menos un cuadrado azul, cada cuadrado azul comparta un lado con al menos un cuadrado amarillo, y cada cuadrado amarillo comparta un lado con al menos un cuadrado rojo. Las coloraciones que se pueden obtener una de otra mediante rotaciones y/o reflexiones se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each of the $9$ squares in a $3 \times 3$ grid is to be colored red, blue, or yellow in such a way that each red square shares an edge with at least one blue square, each blue square shares an edge with at least one yellow square, and each yellow square shares an edge with at least one red square. Colorings that can be obtained from one another by rotations and/or reflections are to be considered the same. How many different colorings are possible?

$3$

$9$

$12$

$18$

$27$

Respuesta: C

Conceptos:Lema de Burnside análisis por casos

Nivel de dificultad: 1980

Solución:

Cada cuadrado rojo necesita un vecino azul, cada azul uno amarillo y cada amarillo uno rojo, lo que obliga a que los tres colores aparezcan en un patrón entrelazado. Una verificación sistemática da $84$ coloraciones válidas de la cuadrícula etiquetada. Entre las $8$ simetrías del cuadrado, solo dos reflexiones diagonales fijan alguna coloración, $6$ cada una, así que el lema de Burnside da $\tfrac{1}{8}(84 + 6 + 6) = 12$ coloraciones distintas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each red square needs a blue neighbor, each blue a yellow, and each yellow a red, forcing all three colors to appear in an interlocking pattern. A systematic check gives $84$ valid colorings of the labeled grid. Under the $8$ symmetries of the square, only two diagonal reflections fix any colorings — $6$ each — so Burnside's lemma gives $\tfrac{1}{8}(84 + 6 + 6) = 12$ distinct colorings.

Thus, the correct answer is C.

18.

Awnik juega repetidamente un juego que tiene una probabilidad de ganar de $\dfrac{1}{3}.$ Los resultados de los juegos son independientes. ¿Cuál es el valor esperado del número de juegos que jugará hasta que haya ganado y perdido al menos una vez cada uno?

Awnik repeatedly plays a game that has a probability of winning of $\dfrac{1}{3}.$ The outcomes of the games are independent. What is the expected value of the number of games he will play until he has both won and lost at least once?

$\dfrac{5}{2}$

$3$

$\dfrac{16}{5}$

$\dfrac{7}{2}$

$\dfrac{15}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:valor esperado distribución geométrica

Nivel de dificultad: 1770

Solución:

El primer juego produce un resultado. Si fue una victoria (probabilidad $\tfrac{1}{3}$ ), la espera esperada de una derrota es $\tfrac{1}{2/3} = \tfrac{3}{2};$ si fue una derrota (probabilidad $\tfrac{2}{3}$ ), la espera esperada de una victoria es $\tfrac{1}{1/3} = 3.$ Así que el total esperado es $1 + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 1 + \tfrac{1}{2} + 2$ $= \tfrac{7}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first game produces one outcome. If it was a win (probability $\tfrac{1}{3}$ ), the expected wait for a loss is $\tfrac{1}{2/3} = \tfrac{3}{2};$ if it was a loss (probability $\tfrac{2}{3}$ ), the expected wait for a win is $\tfrac{1}{1/3} = 3.$ So the expected total is $1 + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 1 + \tfrac{1}{2} + 2$ $= \tfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

19.

Una cuadrícula rectangular de cuadrados tiene $141$ filas y $91$ columnas. Cada cuadrado tiene espacio para dos números. Horace y Vera llenan cada uno la cuadrícula colocando los números del $1$ al $141 \times 91 = 12{,}831$ en los cuadrados. Horace la llena horizontalmente: coloca del $1$ al $91$ en orden de izquierda a derecha en la fila $1,$ coloca del $92$ al $182$ en la fila $2$ en orden de izquierda a derecha, y continúa de forma similar hasta la fila $141.$ Vera la llena verticalmente: coloca del $1$ al $141$ en orden de arriba abajo en la columna $1,$ luego del $142$ al $282$ en la columna $2$ en orden de arriba abajo, y continúa de forma similar hasta la columna $91.$ ¿Cuántos cuadrados reciben dos copias del mismo número?

A rectangular grid of squares has $141$ rows and $91$ columns. Each square has room for two numbers. Horace and Vera each fill in the grid by putting the numbers from $1$ through $141 \times 91 = 12{,}831$ into the squares. Horace fills the grid horizontally: he puts $1$ through $91$ in order from left to right into row $1,$ puts $92$ through $182$ into row $2$ in order from left to right, and continues similarly through row $141.$ Vera fills the grid vertically: she puts $1$ through $141$ in order from top to bottom into column $1,$ then $142$ through $282$ into column $2$ in order from top to bottom, and continues similarly through column $91.$ How many squares get two copies of the same number?

$7$

$10$

$11$

$12$

$19$

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2040

Solución:

En la fila $r,$ columna $c,$ Horace escribe $(r-1)\cdot 91 + c$ y Vera escribe $(c-1)\cdot 141 + r.$ Igualarlos da $90r - 140c = -50,$ es decir $9r = 14c - 5.$ Esto requiere $c \equiv 1 \pmod 9,$ así que $c = 1, 10, 19, \ldots, 91$ , esto es $11$ valores, y cada uno da un $r$ válido entre $1$ y $141.$ Así que $11$ cuadrados coinciden.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In row $r,$ column $c,$ Horace writes $(r-1)\cdot 91 + c$ and Vera writes $(c-1)\cdot 141 + r.$ Setting these equal gives $90r - 140c = -50,$ i.e. $9r = 14c - 5.$ This requires $c \equiv 1 \pmod 9,$ so $c = 1, 10, 19, \ldots, 91$ — that is $11$ values, and each yields a valid $r$ between $1$ and $141.$ So $11$ squares match.

Thus, the correct answer is C.

20.

Una rana salta a lo largo de la recta numérica según las siguientes reglas.

• Empieza en $0.$

• Si está en $0,$ entonces se mueve a $1$ con probabilidad $\dfrac{1}{2}$ y desaparece con probabilidad $\dfrac{1}{2}.$

• Para $n = 1, 2$ o $3,$ si está en $n,$ entonces se mueve a $n+1$ con probabilidad $\dfrac{1}{4},$ se mueve a $n-1$ con probabilidad $\dfrac{1}{4},$ y desaparece con probabilidad $\dfrac{1}{2}.$

¿Cuál es la probabilidad de que la rana llegue a $4$ ?

A frog hops along the number line according to the following rules.

• It starts at $0.$

• If it is at $0,$ then it moves to $1$ with probability $\dfrac{1}{2}$ and it disappears with probability $\dfrac{1}{2}.$

• For $n = 1, 2,$ or $3,$ if it is at $n,$ then it moves to $n+1$ with probability $\dfrac{1}{4},$ it moves to $n-1$ with probability $\dfrac{1}{4},$ and it disappears with probability $\dfrac{1}{2}.$

What is the probability that the frog reaches $4?$

$\dfrac{1}{101}$

$\dfrac{1}{100}$

$\dfrac{1}{99}$

$\dfrac{1}{98}$

$\dfrac{1}{97}$

Respuesta: E

Conceptos:camino aleatorio probabilidad recursiva sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Sea $f(n)$ la probabilidad de llegar a $4$ desde $n.$ Entonces $f(0) = \tfrac{1}{2} f(1),$ y para $n = 1, 2, 3,$ $f(n) = \tfrac{1}{4} f(n+1) + \tfrac{1}{4} f(n-1),$ con $f(4) = 1.$ Resolviendo hacia arriba se obtiene $f(2) = \tfrac{7}{2} f(1)$ y $f(3) = 13 f(1);$ luego $4 \cdot 13 f(1) = 1 + \tfrac{7}{2} f(1)$ da $f(1) = \tfrac{2}{97},$ así que $f(0) = \tfrac{1}{97}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $f(n)$ be the probability of reaching $4$ from $n.$ Then $f(0) = \tfrac{1}{2} f(1),$ and for $n = 1, 2, 3,$ $f(n) = \tfrac{1}{4} f(n+1) + \tfrac{1}{4} f(n-1),$ with $f(4) = 1.$ Solving upward gives $f(2) = \tfrac{7}{2} f(1)$ and $f(3) = 13 f(1);$ then $4 \cdot 13 f(1) = 1 + \tfrac{7}{2} f(1)$ yields $f(1) = \tfrac{2}{97},$ so $f(0) = \tfrac{1}{97}.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Dos triángulos no congruentes tienen la misma área. Cada triángulo tiene lados de longitud $8$ y $9$ , y el tercer lado de cada triángulo tiene longitud entera. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los terceros lados?

Two non-congruent triangles have the same area. Each triangle has sides of length $8$ and $9,$ and the third side of each triangle has integer length. What is the sum of the lengths of the third sides?

$20$

$22$

$24$

$26$

$28$

Respuesta: C

Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

El área con ángulo incluido $\theta$ es $36\sin\theta$ , así que dos triángulos de igual área usan los ángulos $\theta$ y $180^\circ - \theta$ , con cosenos $\pm\cos\theta$ . Por la ley de cosenos, los terceros lados satisfacen $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta$ , de donde $t_1^2 + t_2^2 = 290$ . Los únicos valores enteros en el rango válido $(1, 17)$ son $11$ y $13$ , pues $121 + 169 = 290$ , así que la suma es $24$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The area with included angle $\theta$ is $36\sin\theta,$ so two triangles of equal area use angles $\theta$ and $180^\circ - \theta,$ with cosines $\pm\cos\theta.$ By the law of cosines the third sides satisfy $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,$ hence $t_1^2 + t_2^2 = 290.$ The only integer values in the valid range $(1, 17)$ are $11$ and $13$ ( $121 + 169 = 290$ ), so the sum is $24.$

Thus, the correct answer is C.

22.

En el plano complejo se considera el triángulo con vértices $2z$ , $(1+i)z$ , $(1-i)z$ , donde el número complejo $z$ satisface $|4z - 2| = 1$ . ¿Cuál es la mayor área posible de este triángulo?

What is the greatest possible area of the triangle in the complex plane with vertices $2z,$ $(1+i)z,$ and $(1-i)z,$ where $z$ is a complex number satisfying $|4z - 2| = 1?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

Respuesta: C

Conceptos:número complejo área del triángulo optimización

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Los vértices son $z \cdot 2$ , $z(1+i)$ , $z(1-i)$ , así que el triángulo es el triángulo fijo de vértices $2, 1+i, 1-i$ , cuya área es $1$ , escalado por el factor $|z|$ , de modo que su área es $|z|^2$ . La condición $|4z - 2| = 1$ equivale a $\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4}$ , así que $|z|$ es como máximo $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$ . La mayor área es $\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The vertices are $z \cdot 2,$ $z(1+i),$ and $z(1-i),$ so the triangle is the fixed triangle with vertices $2, 1+i, 1-i$ — which has area $1$ — scaled by $|z|,$ giving area $|z|^2.$ The condition $|4z - 2| = 1$ is the circle $\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4},$ on which $|z|$ is at most $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.$ So the greatest area is $\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros $z \gt 1$ tales que para todo par de enteros no negativos $(x, y)$ con $x \lt y \lt z,$ el residuo de dividir $2025x$ entre $z$ es menor que el residuo de dividir $2025y$ entre $z.$ ¿Cuál es la suma de los elementos de $S$ ?

Let $S$ be the set of all integers $z \gt 1$ such that for all pairs of nonnegative integers $(x, y)$ with $x \lt y \lt z,$ the remainder when $2025x$ is divided by $z$ is less than the remainder when $2025y$ is divided by $z.$ What is the sum of the elements of $S?$

$3041$

$3542$

$3750$

$4044$

$4319$

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular divisibilidad suma de factores

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

La condición requiere que $k \mapsto 2025k \bmod z$ sea estrictamente creciente en $\{0, 1, \ldots, z-1\}.$ Una lista estrictamente creciente de $z$ valores distintos en $[0, z-1]$ debe ser $0, 1, \ldots, z-1,$ así que $2025 \equiv 1 \pmod z,$ es decir $z \mid 2024.$ Como $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23,$ la suma de todos sus divisores es $(1+2+4+8)(1+11)(1+23)$ $= 15 \cdot 12 \cdot 24$ $= 4320.$ Excluyendo $z = 1$ queda $4319.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The condition requires $k \mapsto 2025k \bmod z$ to be strictly increasing on $\{0, 1, \ldots, z-1\}.$ A strictly increasing list of $z$ distinct values in $[0, z-1]$ must be $0, 1, \ldots, z-1,$ so $2025 \equiv 1 \pmod z,$ i.e. $z \mid 2024.$ Since $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23,$ the sum of all its divisors is $(1+2+4+8)(1+11)(1+23)$ $= 15 \cdot 12 \cdot 24$ $= 4320.$ Excluding $z = 1$ leaves $4319.$

Thus, the correct answer is E.

24.

¿Cuántos números reales satisfacen la ecuación $\sin(20\pi x) = \log_{20}(x)$ ?

How many real numbers satisfy the equation $\sin(20\pi x) = \log_{20}(x)?$

$199$

$200$

$398$

$399$

$400$

Respuesta: D

Conceptos:trigonometría logaritmo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Como $|\sin| \le 1,$ las soluciones necesitan $x \in \left[\tfrac{1}{20}, 20\right],$ donde $\log_{20} x$ sube de $-1$ a $1.$ La curva $\sin(20\pi x)$ tiene periodo $\tfrac{1}{10},$ y en cada rama monótona completa dentro de este intervalo cruza exactamente una vez el logaritmo que crece lentamente. Hay $398$ ramas completas de este tipo; la rama parcial cerca de $x = \tfrac{1}{20}$ añade un cruce, mientras que la rama parcial cerca de $x = 20$ no añade ninguno (allí el seno no puede subir hasta el valor del logaritmo, cercano a $1$ ). Esto da $399$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $|\sin| \le 1,$ solutions need $x \in \left[\tfrac{1}{20}, 20\right],$ where $\log_{20} x$ rises from $-1$ to $1.$ The curve $\sin(20\pi x)$ has period $\tfrac{1}{10},$ and on every full monotonic branch inside this interval it crosses the slowly increasing log exactly once. There are $398$ such full branches; the partial branch near $x = \tfrac{1}{20}$ adds one crossing, while the partial branch near $x = 20$ adds none (the sine cannot rise to the log's near- $1$ value there). This gives $399$ solutions.

Thus, the correct answer is D.

25.

Tres circunferencias concéntricas tienen radios $1, 2, 3.$ Un triángulo equilátero de lado $s$ tiene un vértice sobre cada circunferencia. ¿Cuánto vale $s^2$ ?

Three concentric circles have radii $1, 2, 3.$ An equilateral triangle with side length $s$ has one vertex on each circle. What is $s^2?$

$6$

$\dfrac{25}{4}$

$\dfrac{13}{2}$

$\dfrac{27}{4}$

$7$

Respuesta: E

Conceptos:triángulo equilátero transformación círculo

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Para el centro común a distancias $1, 2, 3$ de los vértices de un triángulo equilátero de lado $s,$ se cumple la identidad $3(1 + 16 + 81 + s^4)$ $= (1 + 4 + 9 + s^2)^2$ . Esto se simplifica a $2s^4 - 28s^2 + 98 = 0,$ es decir $(s^2 - 7)^2 = 0,$ así que $s^2 = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For the common center at distances $1, 2, 3$ from the vertices of an equilateral triangle of side $s,$ the identity $3(1 + 16 + 81 + s^4)$ $= (1 + 4 + 9 + s^2)^2$ holds. This simplifies to $2s^4 - 28s^2 + 98 = 0,$ i.e. $(s^2 - 7)^2 = 0,$ so $s^2 = 7.$

Thus, the correct answer is E.

Problemas del 2025 AMC 12B

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución: