Question

Existen enteros $a$ y $b$ tales que el polinomio $x^3 - 5x^2 + ax + b$ tiene a $4 + \sqrt{5}$ como raíz. ¿Cuánto vale $a + b$ ?

There are integers $a$ and $b$ such that the polynomial $x^3 - 5x^2 + ax + b$ has $4 + \sqrt{5}$ as a root. What is $a + b?$

$13$

$17$

$20$

$30$

$68$

Solución:

El conjugado $4 - \sqrt{5}$ también es raíz, y estos dos son las raíces de $x^2 - 8x + 11.$ La tercera raíz $r$ satisface $8 + r = 5,$ así que $r = -3.$ Entonces $(x^2 - 8x + 11)(x + 3)$ $= x^3 - 5x^2 - 13x + 33,$ lo que da $a = -13$ y $b = 33,$ por lo que $a + b = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The conjugate $4 - \sqrt{5}$ is also a root, and these two are the roots of $x^2 - 8x + 11.$ The third root $r$ satisfies $8 + r = 5,$ so $r = -3.$ Then $(x^2 - 8x + 11)(x + 3)$ $= x^3 - 5x^2 - 13x + 33,$ giving $a = -13$ and $b = 33,$ so $a + b = 20.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años