Question

Una sucesión de números se define por $D_0 = 0$ , $D_1 = 0$ , $D_2 = 1$ , y $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$ para $n \ge 3$ . ¿Cuáles son las paridades (par o impar) de la terna de números $(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023})$ , donde $E$ denota par y $O$ denota impar?

A sequence of numbers is defined by $D_0 = 0,$ $D_1 = 0,$ $D_2 = 1,$ and $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$ for $n \ge 3.$ What are the parities (evenness or oddness) of the triple of numbers $(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023}),$ where $E$ denotes even and $O$ denotes odd?

$(O, E, O)$

$(E, E, O)$

$(E, O, E)$

$(O, O, E)$

$(O, O, O)$

Solución:

Trabajando módulo $2$ , los términos $D_0, D_1, D_2, \ldots$ tienen paridades $E$ , $E$ , $O$ , $O$ , $O$ , $E$ , $O$ , $E$ , $E$ , $O$ , $O$ , $O$ , $E$ , $O, \ldots$ que se repiten con período $7$ comenzando desde $D_0$ (en efecto, $D_7, D_8, D_9$ tienen las mismas paridades $E, E, O$ que $D_0, D_1, D_2$ ).

Como $2021 \equiv 5$ , $2022 \equiv 6$ , y $2023 \equiv 0 \pmod 7$ , las paridades coinciden con las de $D_5, D_6, D_0$ , es decir, $E, O, E$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Working modulo $2,$ the terms $D_0, D_1, D_2, \ldots$ have parities $E,$ $E,$ $O,$ $O,$ $O,$ $E,$ $O,$ $E,$ $E,$ $O,$ $O,$ $O,$ $E,$ $O, \ldots$ which repeat with period $7$ starting from $D_0$ (indeed $D_7, D_8, D_9$ have the same parities $E, E, O$ as $D_0, D_1, D_2$ ).

Since $2021 \equiv 5,$ $2022 \equiv 6,$ and $2023 \equiv 0 \pmod 7,$ the parities match those of $D_5, D_6, D_0,$ namely $E, O, E.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12A Spring Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años