Question

¿Cuál es la gráfica de $y^4 + 1 = x^4 + 2y^2$ en el plano de coordenadas?

What is the graph of $y^4 + 1 = x^4 + 2y^2$ in the coordinate plane?

dos parábolas que se cortan

two intersecting parabolas

dos parábolas que no se cortan

two nonintersecting parabolas

dos circunferencias que se cortan

two intersecting circles

una circunferencia y una hipérbola

a circle and a hyperbola

una circunferencia y dos parábolas

a circle and two parabolas

Pasa todo a un lado para obtener $(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2$ .

Move everything to one side to get $(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2$

Factoriza como diferencia de cuadrados, lo que da dos ecuaciones separadas.

Factor as a difference of squares, giving two separate equations

Reordenando, $y^4 - 2y^2 + 1 = x^4,$ así que $(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2.$ Esto se factoriza como $(y^2 - 1 - x^2)(y^2 - 1 + x^2) = 0.$

Así, o bien $y^2 - x^2 = 1,$ que es una hipérbola, o bien $x^2 + y^2 = 1,$ que es una circunferencia.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Rearranging, $y^4 - 2y^2 + 1 = x^4,$ so $(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2.$ This factors as $(y^2 - 1 - x^2)(y^2 - 1 + x^2) = 0.$

Thus either $y^2 - x^2 = 1,$ which is a hyperbola, or $x^2 + y^2 = 1,$ which is a circle.

Thus, the correct answer is D.