Question

¿Cuántos pares ordenados de enteros $(x, y)$ satisfacen la ecuación

$x^{2020} + y^2 = 2y?$

How many ordered pairs of integers $(x, y)$ satisfy the equation

$x^{2020} + y^2 = 2y?$

$1$

$2$

$3$

$4$

Infinitos

infinitely many

Solución:

Completar el cuadrado da $x^{2020} + (y - 1)^2 = 1.$ Ambos términos son no negativos, así que $x^{2020} \le 1,$ lo que obliga a $x \in \{-1, 0, 1\}.$

Si $x = 0,$ entonces $(y - 1)^2 = 1,$ lo que da $y = 0$ o $y = 2.$ Si $x = \pm 1,$ entonces $x^{2020} = 1,$ así que $(y - 1)^2 = 0$ y $y = 1.$ Las soluciones son $(0, 0), (0, 2), (1, 1),$ y $(-1, 1),$ cuatro en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Completing the square gives $x^{2020} + (y - 1)^2 = 1.$ Both terms are nonnegative, so $x^{2020} \le 1,$ forcing $x \in \{-1, 0, 1\}.$

If $x = 0,$ then $(y - 1)^2 = 1,$ giving $y = 0$ or $y = 2.$ If $x = \pm 1,$ then $x^{2020} = 1,$ so $(y - 1)^2 = 0$ and $y = 1.$ The solutions are $(0, 0), (0, 2), (1, 1),$ and $(-1, 1)$ — four in all.

Thus, the correct answer is D.

2020 AMC 12B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años