Question

Cada escuela secundaria de la ciudad de Euclid envió un equipo de $3$ estudiantes a un concurso de matemáticas. Cada participante en el concurso recibió una puntuación diferente. La puntuación de Andrea fue la mediana entre todos los estudiantes, y la suya fue la puntuación más alta de su equipo. Las compañeras de equipo de Andrea, Beth y Carla, quedaron en los puestos $37$ y $64$ , respectivamente. ¿Cuántas escuelas hay en la ciudad?

Every high school in the city of Euclid sent a team of $3$ students to a math contest. Each participant in the contest received a different score. Andrea's score was the median among all students, and hers was the highest score on her team. Andrea's teammates Beth and Carla placed $37$ th and $64$ th, respectively. How many schools are in the city?

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Solución:

Con $n$ escuelas hay $3n$ estudiantes. Carla quedó en el puesto $64$ , así que $3n\ge64$ y $n\ge22.$

Las puntuaciones son distintas y Andrea es la mediana, así que $3n$ es impar, lo que fuerza $n$ impar y $n\ge23.$

La posición de Andrea es $\dfrac{3n+1}{2},$ y ella superó a Beth (puesto $37$ ), así que $\dfrac{3n+1}{2}\lt37,$ lo que da $3n\lt73$ y $n\le24.$ El único valor impar es $n=23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With $n$ schools there are $3n$ students. Carla placed $64$ th, so $3n\ge64$ and $n\ge22.$

The scores are distinct and Andrea is the median, so $3n$ is odd, forcing $n$ odd and $n\ge23.$

Andrea's position is $\dfrac{3n+1}{2},$ and she beat Beth ( $37$ th), so $\dfrac{3n+1}{2}\lt37,$ giving $3n\lt73$ and $n\le24.$ The only odd value is $n=23.$

Thus, the correct answer is B.

2010 AMC 12B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años