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2018 AMC 12B Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2018 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

El segmento AB‾\overline{AB} es un diámetro de un círculo con AB=24.AB=24. El punto C,C, distinto de AA o B,B, está sobre el círculo. A medida que el punto CC se mueve alrededor del círculo, el baricentro (centro de masa) de △ABC\triangle ABC traza una curva cerrada a la que le faltan dos puntos. Redondeando al entero positivo más cercano, ¿cuál es el área de la región acotada por esta curva?
Line segment AB‾\overline{AB} is a diameter of a circle with AB=24.AB=24. Point C,C, not equal to AA or B,B, lies on the circle. As point CC moves around the circle, the centroid (center of mass) of △ABC\triangle ABC traces out a closed curve missing two points. To the nearest positive integer, what is the area of the region bounded by this curve?
2525
3838
5050
6363
7575
Respuesta: C
Conceptos:baricentrohomoteciaárea del círculo
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:
Sea OO el centro; el baricentro se encuentra a un tercio del camino de OO hacia CC.
Let OO be the center; the centroid lies one-third of the way from OO toward CC
Pista grande:
A medida que CC se mueve en el círculo de radio 12,12, el baricentro traza un círculo de radio 13⋅12\tfrac13\cdot12.
As CC moves on the circle of radius 12,12, the centroid traces a circle of radius 13⋅12\tfrac13\cdot12
Solución:
Sea OO el centro del círculo. El baricentro de △ABC\triangle ABC es el promedio de A,A, B,B, y C;C; como OO es el punto medio de AB‾,\overline{AB}, el baricentro se encuentra a un tercio del camino de OO a C.C.
A medida que CC traza el círculo de radio 12,12, el baricentro traza un círculo de radio 13⋅12=4.\tfrac13\cdot12=4. Su área es 16π≈50.16\pi\approx50.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let OO be the center of the circle. The centroid of △ABC\triangle ABC is the average of A,A, B,B, and C;C; since OO is the midpoint of AB‾,\overline{AB}, the centroid lies one-third of the way from OO to C.C.
As CC traces the circle of radius 12,12, the centroid traces a circle of radius 13⋅12=4.\tfrac13\cdot12=4. Its area is 16π≈50.16\pi\approx50.
Thus, the correct answer is C.
Problema 7#7
Examen completo
Problema 9#9

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