Question

El segmento $\overline{AB}$ es un diámetro de un círculo con $AB=24.$ El punto $C,$ distinto de $A$ o $B,$ está sobre el círculo. A medida que el punto $C$ se mueve alrededor del círculo, el baricentro (centro de masa) de $\triangle ABC$ traza una curva cerrada a la que le faltan dos puntos. Redondeando al entero positivo más cercano, ¿cuál es el área de la región acotada por esta curva?

Line segment $\overline{AB}$ is a diameter of a circle with $AB=24.$ Point $C,$ not equal to $A$ or $B,$ lies on the circle. As point $C$ moves around the circle, the centroid (center of mass) of $\triangle ABC$ traces out a closed curve missing two points. To the nearest positive integer, what is the area of the region bounded by this curve?

$25$

$38$

$50$

$63$

$75$

Respuesta: C

Conceptos:baricentro homotecia área del círculo

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Sea $O$ el centro; el baricentro se encuentra a un tercio del camino de $O$ hacia $C$ .

Let $O$ be the center; the centroid lies one-third of the way from $O$ toward $C$

Pista grande:

A medida que $C$ se mueve en el círculo de radio $12,$ el baricentro traza un círculo de radio $\tfrac13\cdot12$ .

As $C$ moves on the circle of radius $12,$ the centroid traces a circle of radius $\tfrac13\cdot12$

Solución:

Sea $O$ el centro del círculo. El baricentro de $\triangle ABC$ es el promedio de $A,$ $B,$ y $C;$ como $O$ es el punto medio de $\overline{AB},$ el baricentro se encuentra a un tercio del camino de $O$ a $C.$

A medida que $C$ traza el círculo de radio $12,$ el baricentro traza un círculo de radio $\tfrac13\cdot12=4.$ Su área es $16\pi\approx50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the center of the circle. The centroid of $\triangle ABC$ is the average of $A,$ $B,$ and $C;$ since $O$ is the midpoint of $\overline{AB},$ the centroid lies one-third of the way from $O$ to $C.$

As $C$ traces the circle of radius $12,$ the centroid traces a circle of radius $\tfrac13\cdot12=4.$ Its area is $16\pi\approx50.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B Problema 8

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años