Question

¿Cuál es el valor de $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_5 9\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25\cdot\log_{23} 27? \end{gathered}$

What is the value of $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_5 9\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25\cdot\log_{23} 27? \end{gathered}$

$3$

$3\log_7 23$

$6$

$9$

$10$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Aplica la fórmula de cambio de base $\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}$ .

Apply the change-of-base formula $\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}$

Pista grande:

Sepáralo en dos cadenas telescópicas: bases $3,7,11,\dots$ y bases $5,9,13,\dots$ .

Separate into two telescoping chains: bases $3,7,11,\dots$ and bases $5,9,13,\dots$

Solución:

Los factores se separan en dos cadenas telescópicas. Los factores en posición impar forman $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_{11} 15\cdots\log_{23} 27 \\ =\log_3 27=3, \end{gathered}$ y los factores en posición par forman $\begin{gathered} \log_5 9\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25 \\ =\log_5 25=2. \end{gathered}$

El producto es $3\cdot2=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The factors split into two telescoping chains. The odd-position factors form $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_{11} 15\cdots\log_{23} 27 \\ =\log_3 27=3, \end{gathered}$ and the even-position factors form $\begin{gathered} \log_5 9\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25 \\ =\log_5 25=2. \end{gathered}$

The product is $3\cdot2=6.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B Problema 7

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años