Question

¿Cuánto vale la suma de todos los números reales $x$ para los cuales la mediana de los números $4,6,8,17,$ y $x$ es igual a la media de esos cinco números?

What is the sum of all real numbers $x$ for which the median of the numbers $4,6,8,17,$ and $x$ is equal to the mean of those five numbers?

$-5$

$0$

$5$

$\dfrac{15}{4}$

$\dfrac{35}{4}$

Solución:

La media es $\dfrac{4+6+8+17+x}{5}=\dfrac{35+x}{5}.$

Si $x\le6,$ la mediana es $6,$ de modo que $\dfrac{35+x}{5}=6$ da $x=-5,$ lo cual es consistente.

Si $6\lt x\lt8,$ la mediana es $x,$ de modo que $\dfrac{35+x}{5}=x$ da $x=8.75,$ fuera de rango. Si $x\ge8,$ la mediana es $8,$ de modo que $\dfrac{35+x}{5}=8$ da $x=5,$ fuera de rango.

La única solución es $x=-5,$ así que la suma es $-5.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The mean is $\dfrac{4+6+8+17+x}{5}=\dfrac{35+x}{5}.$

If $x\le6,$ the median is $6,$ so $\dfrac{35+x}{5}=6$ gives $x=-5,$ which is consistent.

If $6\lt x\lt8,$ the median is $x,$ so $\dfrac{35+x}{5}=x$ gives $x=8.75,$ not in range. If $x\ge8,$ the median is $8,$ so $\dfrac{35+x}{5}=8$ gives $x=5,$ not in range.

The only solution is $x=-5,$ so the sum is $-5.$

Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años