Question

Una escuela tiene $100$ estudiantes y $5$ profesores. En el primer período, cada estudiante toma una clase, y cada profesor enseña una clase. Las inscripciones en las clases son $50,$ $20,$ $20,$ $5,$ y $5.$ Sea $t$ el valor promedio obtenido si se elige un profesor al azar y se anota el número de estudiantes en su clase. Sea $s$ el valor promedio obtenido si se elige un estudiante al azar y se anota el número de estudiantes en su clase, incluido el estudiante. ¿Cuánto vale $t - s$ ?

A school has $100$ students and $5$ teachers. In the first period, each student is taking one class, and each teacher is teaching one class. The enrollments in the classes are $50,$ $20,$ $20,$ $5,$ and $5.$ Let $t$ be the average value obtained if a teacher is picked at random and the number of students in their class is noted. Let $s$ be the average value obtained if a student was picked at random and the number of students in their class, including the student, is noted. What is $t - s?$

$-18.5$

$-13.5$

$0$

$13.5$

$18.5$

Respuesta: B

Conceptos:media valor esperado

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

$t$ es un promedio simple sobre las $5$ clases: $\dfrac{50+20+20+5+5}{5}$ .

$t$ is a plain average over the $5$ classes: $\dfrac{50+20+20+5+5}{5}$

Pista grande:

Para $s,$ cada clase de tamaño $n$ se cuenta $n$ veces: $s = \dfrac{\sum n^2}{100}$ .

For $s,$ each class of size $n$ is counted $n$ times: $s = \dfrac{\sum n^2}{100}$

Solución:

El promedio de los profesores es $t = \dfrac{50 + 20 + 20 + 5 + 5}{5}$ $= \dfrac{100}{5} = 20.$

El promedio de los estudiantes pondera el tamaño de cada clase por cuántos estudiantes hay en ella: $\begin{aligned} s &= \small \frac{50^2 + 20^2 + 20^2 + 5^2 + 5^2}{100} \\ &= \small \frac{2500 + 400 + 400 + 25 + 25}{100} \\ &= 33.5. \end{aligned}$

Así que $t - s = 20 - 33.5 = -13.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The teacher average is $t = \dfrac{50 + 20 + 20 + 5 + 5}{5}$ $= \dfrac{100}{5} = 20.$

The student average weights each class size by how many students are in it: $\begin{aligned} s &= \small \frac{50^2 + 20^2 + 20^2 + 5^2 + 5^2}{100} \\ &= \small \frac{2500 + 400 + 400 + 25 + 25}{100} \\ &= 33.5. \end{aligned}$

So $t - s = 20 - 33.5 = -13.5.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Fall Problema 7

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años