Question

En cierto mundo alienígena, la velocidad máxima de carrera $v$ de un organismo depende de su número de dedos $n$ y su número de ojos $m.$ La relación puede expresarse como $v = k n^a m^b$ centímetros por hora, donde $k,$ $a,$ y $b$ son constantes enteras. En una población donde todos los organismos tienen $5$ dedos, $\log v = 4 + 2\log m;$ y en una población donde todos los organismos tienen $25$ ojos, $\log v = 4 + 4\log n,$ donde los logaritmos son en base $10.$ ¿Cuánto vale $k + a + b$ ?

In a certain alien world, the maximum running speed $v$ of an organism is dependent on its number of toes $n$ and number of eyes $m.$ The relationship can be expressed as $v = k n^a m^b$ centimeters per hour, where $k,$ $a,$ and $b$ are integer constants. In a population where all organisms have $5$ toes, $\log v = 4 + 2\log m;$ and in a population where all organisms have $25$ eyes, $\log v = 4 + 4\log n,$ where the logarithms are base $10.$ What is $k + a + b?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Solución:

Tomando logaritmos, $\log v = \log k + a\log n + b\log m.$

Con $n = 5,$ esto se lee $\log v = (\log k + a\log 5)$ $+ b\log m,$ que coincide con $4 + 2\log m,$ así que $b = 2$ y $\log k + a\log 5 = 4.$

Con $m = 25,$ se lee $\log v = (\log k + b\log 25)$ $+ a\log n,$ que coincide con $4 + 4\log n,$ así que $a = 4$ y $\log k + 2\log 25 = 4.$

Entonces $\log k = 4 - \log 625$ $= \log\dfrac{10000}{625}$ $= \log 16,$ así que $k = 16.$ Por lo tanto $k + a + b = 16 + 4 + 2 = 22.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Taking logarithms, $\log v = \log k + a\log n + b\log m.$

With $n = 5,$ this reads $\log v = (\log k + a\log 5)$ $+ b\log m,$ matching $4 + 2\log m,$ so $b = 2$ and $\log k + a\log 5 = 4.$

With $m = 25,$ it reads $\log v = (\log k + b\log 25)$ $+ a\log n,$ matching $4 + 4\log n,$ so $a = 4$ and $\log k + 2\log 25 = 4.$

Then $\log k = 4 - \log 625$ $= \log\dfrac{10000}{625}$ $= \log 16,$ so $k = 16.$ Hence $k + a + b = 16 + 4 + 2 = 22.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años