Question

El pentágono $ABCDE$ está inscrito en un círculo, y $\angle BEC = \angle CED = 30^\circ.$ Sean $AC$ y $BD$ que se cortan en el punto $F,$ y supongamos que $AB = 9$ y $AD = 24.$ ¿Cuánto vale $BF$ ?

Pentagon $ABCDE$ is inscribed in a circle, and $\angle BEC = \angle CED = 30^\circ.$ Let $AC$ and $BD$ intersect at point $F,$ and suppose that $AB = 9$ and $AD = 24.$ What is $BF?$

$\dfrac{57}{11}$

$\dfrac{59}{11}$

$\dfrac{60}{11}$

$\dfrac{61}{11}$

$\dfrac{63}{11}$

Solución:

El ángulo inscrito $\angle BEC = 30^\circ$ subtiende el arco $BC = 60^\circ,$ así que $\angle BAC,$ que también subtiende el arco $BC,$ es igual a $30^\circ.$ De igual modo $\angle CAD = 30^\circ.$

Por lo tanto $AC$ biseca $\angle BAD = 60^\circ.$ En $\triangle ABD,$ $\begin{aligned} BD^2 &= 9^2 + 24^2 \\ &\quad {}- 2(9)(24)\cos 60^\circ \\ &= 657 - 216 = 441, \end{aligned}$ así que $BD = 21.$

Como $AF$ (a lo largo de $AC$ ) biseca $\angle BAD,$ el teorema de la bisectriz del ángulo da $\dfrac{BF}{FD} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}.$ Por lo tanto $BF = \dfrac{3}{11}\cdot 21 = \dfrac{63}{11}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The inscribed angle $\angle BEC = 30^\circ$ subtends arc $BC = 60^\circ,$ so $\angle BAC,$ which also subtends arc $BC,$ equals $30^\circ.$ Likewise $\angle CAD = 30^\circ.$

Thus $AC$ bisects $\angle BAD = 60^\circ.$ In $\triangle ABD,$ $\begin{aligned} BD^2 &= 9^2 + 24^2 \\ &\quad {}- 2(9)(24)\cos 60^\circ \\ &= 657 - 216 = 441, \end{aligned}$ so $BD = 21.$

Since $AF$ (along $AC$ ) bisects $\angle BAD,$ the Angle Bisector Theorem gives $\dfrac{BF}{FD} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}.$ Hence $BF = \dfrac{3}{11}\cdot 21 = \dfrac{63}{11}.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años