Question

¿Cuántos ángulos $\theta$ con $0\le\theta\le2\pi$ satisfacen $\log(\sin(3\theta))+\log(\cos(2\theta))=0$ ?

How many angles $\theta$ with $0\le\theta\le2\pi$ satisfy $\log(\sin(3\theta))+\log(\cos(2\theta))=0?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo trigonometría acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

$\log(\sin3\theta)+\log(\cos2\theta)$ $=\log(\sin3\theta\cos2\theta),$ que debe ser igual a $0$

$\log(\sin3\theta)+\log(\cos2\theta)$ $=\log(\sin3\theta\cos2\theta),$ which must equal $0$

Pista grande:

Un producto de dos números cada uno a lo sumo $1$ es igual a $1$ solo cuando ambos son $1$

A product of two numbers each at most $1$ equals $1$ only when both equal $1$

Solución:

La ecuación significa $\sin(3\theta)\cos(2\theta)=1$ con ambos factores positivos (para que los logaritmos estén definidos). Como $\sin(3\theta)\le1$ y $\cos(2\theta)\le1,$ su producto es $1$ solo si $\sin(3\theta)=1$ y $\cos(2\theta)=1$ simultáneamente. Pero $\cos(2\theta)=1$ obliga a $\theta\in\{0,\pi,2\pi\},$ donde $\sin(3\theta)=0\ne1.$ Ningún ángulo funciona. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation means $\sin(3\theta)\cos(2\theta)=1$ with both factors positive (for the logs to be defined). Since $\sin(3\theta)\le1$ and $\cos(2\theta)\le1,$ their product is $1$ only if $\sin(3\theta)=1$ and $\cos(2\theta)=1$ simultaneously. But $\cos(2\theta)=1$ forces $\theta\in\{0,\pi,2\pi\},$ where $\sin(3\theta)=0\ne1.$ No angle works. Thus, the correct answer is A.

2024 AMC 12A Problema 8

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años