Question

¿Para cuántos valores de $a$ es cierto que la recta $y = x + a$ pasa por el vértice de la parábola $y = x^2 + a^2$ ?

For how many values of $a$ is it true that the line $y = x + a$ passes through the vertex of the parabola $y = x^2 + a^2?$

$0$

$1$

$2$

$10$

infinitos

infinitely many

El vértice de la parábola $y = x^2 + a^2$ es $(0, a^2).$

La recta $y = x + a$ pasa por él exactamente cuando $a^2 = 0 + a,$ es decir $a^2 - a = 0.$

Esto da $a = 0$ o $a = 1,$ así que hay $2$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The vertex of the parabola $y = x^2 + a^2$ is $(0, a^2).$

The line $y = x + a$ passes through it exactly when $a^2 = 0 + a,$ that is $a^2 - a = 0.$

This gives $a = 0$ or $a = 1,$ so there are $2$ values.

Thus, the correct answer is C.