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2021 AMC 12B Spring Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2021 AMC 12B Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

Tres rectas paralelas igualmente espaciadas cortan una circunferencia, creando tres cuerdas de longitudes 38,38, 38,38, y 34.34. ¿Cuál es la distancia entre dos rectas paralelas adyacentes?

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths 38,38, 38,38, and 34.34. What is the distance between two adjacent parallel lines?

5125\tfrac{1}{2}

66

6126\tfrac{1}{2}

77

7127\tfrac{1}{2}

Respuesta: B
Conceptos:cuerdaTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:

Cuerdas iguales equidistan del centro, así que las dos cuerdas de 3838 están a alturas ±d2\pm\tfrac{d}{2}

Equal chords are equidistant from the center, so the two 3838 chords sit at heights ±d2\pm\tfrac{d}{2}

Pista grande:

Con separación d,d, usa r2−(d2)2=192r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2 y r2−(3d2)2=172r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2

With spacing d,d, use r2−(d2)2=192r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2 and r2−(3d2)2=172r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2

Solución:

Coloca el centro a la altura 0.0. Dos cuerdas iguales están a la misma distancia del centro, así que las tres rectas igualmente espaciadas están a las alturas −d2,d2,3d2,-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2}, con las dos cuerdas de 3838 en ±d2\pm\tfrac{d}{2} y la cuerda de 3434 en 3d2.\tfrac{3d}{2}.

Las relaciones de las semicuerdas dan r2−(d2)2=192r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2 y r2−(3d2)2=172.r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2.

Restando, 2d2=192−172=72,2d^2=19^2-17^2=72, así que d2=36d^2=36 y d=6.d=6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the center at height 0.0. Two equal chords lie at equal distances from the center, so the three equally spaced lines are at heights −d2,d2,3d2,-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2}, with the two 3838-chords at ±d2\pm\tfrac{d}{2} and the 3434-chord at 3d2.\tfrac{3d}{2}.

Half-chord relations give r2−(d2)2=192r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2 and r2−(3d2)2=172.r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2.

Subtracting, 2d2=192−172=72,2d^2=19^2-17^2=72, so d2=36d^2=36 and d=6.d=6.

Thus, the correct answer is B.

Problema 7#7
Examen completo
Problema 9#9

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