Question

Tres rectas paralelas igualmente espaciadas cortan una circunferencia, creando tres cuerdas de longitudes $38, 38,$ y $34.$ ¿Cuál es la distancia entre dos rectas paralelas adyacentes?

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths $38, 38,$ and $34.$ What is the distance between two adjacent parallel lines?

$5\tfrac{1}{2}$

$6$

$6\tfrac{1}{2}$

$7$

$7\tfrac{1}{2}$

Solución:

Coloca el centro a la altura $0.$ Dos cuerdas iguales están a la misma distancia del centro, así que las tres rectas igualmente espaciadas están a las alturas $-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2},$ con las dos cuerdas de $38$ en $\pm\tfrac{d}{2}$ y la cuerda de $34$ en $\tfrac{3d}{2}.$

Las relaciones de las semicuerdas dan $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ y $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2.$

Restando, $2d^2=19^2-17^2=72,$ así que $d^2=36$ y $d=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the center at height $0.$ Two equal chords lie at equal distances from the center, so the three equally spaced lines are at heights $-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2},$ with the two $38$ -chords at $\pm\tfrac{d}{2}$ and the $34$ -chord at $\tfrac{3d}{2}.$

Half-chord relations give $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ and $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2.$

Subtracting, $2d^2=19^2-17^2=72,$ so $d^2=36$ and $d=6.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Spring Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años