Question

La razón del largo al ancho de un rectángulo es $4 : 3.$ Si el rectángulo tiene una diagonal de longitud $d,$ entonces el área puede expresarse como $kd^2$ para cierta constante $k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

The ratio of the length to the width of a rectangle is $4 : 3.$ If the rectangle has diagonal of length $d,$ then the area may be expressed as $kd^2$ for some constant $k.$ What is $k?$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{12}{25}$

$\dfrac{16}{25}$

$\dfrac{3}{4}$

Solución:

Sean los lados del rectángulo $4a$ y $3a.$ Por el teorema de Pitágoras la diagonal es $5a = d,$ así que $a = \dfrac{d}{5}.$

El área es $4a\cdot 3a = 12a^2$ $= 12\left(\dfrac{d}{5}\right)^2$ $= \dfrac{12}{25}d^2,$ así que $k = \dfrac{12}{25}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the sides of the rectangle be $4a$ and $3a.$ By the Pythagorean Theorem the diagonal is $5a = d,$ so $a = \dfrac{d}{5}.$

The area is $4a\cdot 3a = 12a^2$ $= 12\left(\dfrac{d}{5}\right)^2$ $= \dfrac{12}{25}d^2,$ so $k = \dfrac{12}{25}.$

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años