Question

¿Qué valor de $x$ satisface

$\frac{\log_2 x \cdot \log_3 x}{\log_2 x + \log_3 x} = 2?$

What value of $x$ satisfies

$\frac{\log_2 x \cdot \log_3 x}{\log_2 x + \log_3 x} = 2?$

$25$

$32$

$36$

$42$

$48$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Divide el numerador y el denominador entre $\log_2 x \cdot \log_3 x$ para convertir el lado izquierdo en $\dfrac{1}{\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x}}$ .

Divide numerator and denominator by $\log_2 x \cdot \log_3 x$ to turn the left side into $\dfrac{1}{\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x}}$

Pista grande:

Como $\dfrac{1}{\log_2 x} = \log_x 2$ y $\dfrac{1}{\log_3 x} = \log_x 3,$ la ecuación se convierte en $\log_x 6 = \dfrac12$ .

Since $\dfrac{1}{\log_2 x} = \log_x 2$ and $\dfrac{1}{\log_3 x} = \log_x 3,$ the equation becomes $\log_x 6 = \dfrac12$

Solución:

Dividiendo numerador y denominador entre $\log_2 x \cdot \log_3 x,$ el lado izquierdo se convierte en $\begin{gathered} \frac{1}{\dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{\log_3 x}} \\ = \frac{1}{\log_x 2 + \log_x 3} \\ = \frac{1}{\log_x 6}. \end{gathered}$ Así $\dfrac{1}{\log_x 6} = 2,$ lo que significa $\log_x 6 = \dfrac12,$ es decir $x^{\frac{1}{2}} = 6.$

Por lo tanto $x = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Dividing top and bottom by $\log_2 x \cdot \log_3 x,$ the left side becomes $\begin{gathered} \frac{1}{\dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{\log_3 x}} \\ = \frac{1}{\log_x 2 + \log_x 3} \\ = \frac{1}{\log_x 6}. \end{gathered}$ So $\dfrac{1}{\log_x 6} = 2,$ meaning $\log_x 6 = \dfrac12,$ i.e. $x^{\frac{1}{2}} = 6.$

Therefore $x = 36.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B Problema 8

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años