Question

Un tablero de dardos es la región $B$ en el plano de coordenadas formada por los puntos $(x, y)$ tales que $|x| + |y| \le 8.$ Un blanco $T$ es la región donde $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.$ Se lanza un dardo y cae en un punto aleatorio de $B.$ La probabilidad de que el dardo caiga en $T$ puede expresarse como $\dfrac{m}{n} \cdot \pi,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

A dartboard is the region $B$ in the coordinate plane consisting of points $(x, y)$ such that $|x| + |y| \le 8.$ A target $T$ is the region where $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.$ A dart is thrown and lands at a random point in $B.$ The probability that the dart lands in $T$ can be expressed as $\dfrac{m}{n} \cdot \pi,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$39$

$71$

$73$

$75$

$135$

Solución:

El tablero $|x| + |y| \le 8$ es un cuadrado con diagonales $16,$ así que su área es $\tfrac12 \cdot 16 \cdot 16 = 128.$ La condición del blanco $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49$ significa $-7 \le x^2 + y^2 - 25 \le 7,$ es decir $18 \le x^2 + y^2 \le 32,$ un anillo de área $\pi(32 - 18) = 14\pi.$

La distancia del origen a un lado del cuadrado (por ejemplo $x + y = 8$ ) es $\dfrac{8}{\sqrt2} = \sqrt{32},$ exactamente el radio exterior del anillo. Así que el anillo es tangente al cuadrado y queda por completo dentro de $B.$ La probabilidad es $\dfrac{14\pi}{128} = \dfrac{7}{64}\pi,$ lo que da $m + n = 7 + 64 = 71.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The dartboard $|x| + |y| \le 8$ is a square with diagonals $16,$ so its area is $\tfrac12 \cdot 16 \cdot 16 = 128.$ The target condition $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49$ means $-7 \le x^2 + y^2 - 25 \le 7,$ i.e. $18 \le x^2 + y^2 \le 32,$ an annulus of area $\pi(32 - 18) = 14\pi.$

The distance from the origin to a side of the square (for instance $x + y = 8$ ) is $\dfrac{8}{\sqrt2} = \sqrt{32},$ exactly the annulus's outer radius. So the annulus is tangent to the square and lies entirely within $B.$ The probability is $\dfrac{14\pi}{128} = \dfrac{7}{64}\pi,$ giving $m + n = 7 + 64 = 71.$

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años