Question

Oscar compra $13$ lápices y $3$ borradores por $\$1.00.$ Un lápiz cuesta más que un borrador, y ambos artículos cuestan un número entero de centavos. ¿Cuál es el costo total, en centavos, de un lápiz y un borrador?

Oscar buys $13$ pencils and $3$ erasers for $\$1.00.$ A pencil costs more than an eraser, and both items cost a whole number of cents. What is the total cost, in cents, of one pencil and one eraser?

$10$

$12$

$15$

$18$

$20$

Respuesta: A

Conceptos:Ecuación diofántica divisibilidad

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Agrupa en $3$ conjuntos de un lápiz y un borrador, más $10$ lápices adicionales.

Group as $3$ sets of one pencil and one eraser, plus $10$ extra pencils

Pista grande:

Si $s$ es el costo de un lápiz más un borrador, entonces $3s + 10p = 100,$ así que $3s$ es un múltiplo de $10$ .

If $s$ is the cost of one pencil plus one eraser, then $3s + 10p = 100,$ so $3s$ is a multiple of $10$

Solución:

Sea $p$ el costo de un lápiz y $s$ el costo de un lápiz más un borrador, en centavos. Entonces $13p + 3e = 3s + 10p = 100,$ así que $3s$ es un múltiplo de $10$ menor que $100.$ Por lo tanto $s \in \{10, 20, 30\},$ con $p = 7, 4, 1$ respectivamente.

Como un lápiz cuesta más que un borrador, $p \gt \tfrac{s}{2},$ lo que se cumple solo para $s = 10$ (lápiz $7$ , borrador $3$ ). Así que un lápiz y un borrador cuestan $10$ centavos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $p$ be a pencil’s cost and $s$ the cost of one pencil plus one eraser, in cents. Then $13p + 3e = 3s + 10p = 100,$ so $3s$ is a multiple of $10$ less than $100.$ Hence $s \in \{10, 20, 30\},$ with $p = 7, 4, 1$ respectively.

Since a pencil costs more than an eraser, $p \gt \tfrac{s}{2},$ which holds only for $s = 10$ (pencil $7,$ eraser $3$ ). So one pencil and one eraser cost $10$ cents.

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 12A Problema 9

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años