2022 AMC 12A Problema 9
Intenta el Problema 9 del 2022 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
9.
En Halloween, niños entraron a la oficina del director pidiendo dulces. Se pueden clasificar en tres tipos: algunos siempre mienten; algunos siempre dicen la verdad; y algunos mienten y dicen la verdad de forma alterna. Los alternantes eligen arbitrariamente su primera respuesta, ya sea una mentira o la verdad, pero cada afirmación siguiente tiene el valor de verdad opuesto al de la anterior. El director hizo a todos las mismas tres preguntas en este orden.
“¿Eres alguien que dice la verdad?” El director dio un dulce a cada uno de los niños que respondieron que sí.
“¿Eres un alternante?” El director dio un dulce a cada uno de los niños que respondieron que sí.
“¿Eres un mentiroso?” El director dio un dulce a cada uno de los niños que respondieron que sí.
¿Cuántos dulces en total dio el director a los niños que siempre dicen la verdad?
On Halloween children walked into the principal’s office asking for candy. They can be classified into three types: some always lie; some always tell the truth; and some alternately lie and tell the truth. The alternaters arbitrarily choose their first response, either a lie or the truth, but each subsequent statement has the opposite truth value from its predecessor. The principal asked everyone the same three questions in this order.
“Are you a truth-teller?” The principal gave a piece of candy to each of the children who answered yes.
“Are you an alternater?” The principal gave a piece of candy to each of the children who answered yes.
“Are you a liar?” The principal gave a piece of candy to each of the children who answered yes.
How many pieces of candy in all did the principal give to the children who always tell the truth?
Respuesta: A
Pista pequeña:
Determina cómo responde cada uno de los tres tipos a cada pregunta
Work out how each of the three types answers each question
Pista grande:
Solo los alternantes que mienten primero responden que sí a la última pregunta, lo que fija su cantidad
Only alternaters who lie first answer the last question yes, which pins down their count
Solución:
A “¿Eres alguien que dice la verdad?”, tanto los que dicen la verdad como los mentirosos responden que sí, y de los alternantes solo responden que sí quienes mienten en esta pregunta. A “¿Eres un alternante?”, los mentirosos responden que sí, y entre los alternantes solo responden que sí quienes dicen la verdad en esta pregunta. A “¿Eres un mentiroso?”, solo responden que sí los alternantes que mienten en esta pregunta.
Separa a los alternantes según su primera respuesta. Los que empiezan con una mentira responden (mentira, verdad, mentira), así que dicen que sí a las tres preguntas; los que empiezan con la verdad responden (verdad, mentira, verdad) y no dicen que sí a ninguna de las tres. Los síes de la última pregunta son exactamente los alternantes que mienten primero, así que hay de ellos.
Los síes de la segunda pregunta son los mentirosos más estos así que hay mentirosos. Los síes de la primera pregunta son los que dicen la verdad más los mentirosos más los así que los que dicen la verdad son
Los que dicen la verdad responden que sí solo a la primera pregunta, recibiendo un dulce cada uno, para un total de dulces.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
To “Are you a truth-teller?” the truth-tellers and liars both answer yes, and only alternaters who lie on this question answer yes. To “Are you an alternater?” the liars answer yes, and among alternaters only those telling the truth on this question answer yes. To “Are you a liar?” only alternaters lying on this question answer yes.
Split the alternaters by first response. Those starting with a lie answer (lie, truth, lie), so they say yes to all three questions; those starting truthful answer (truth, lie, truth) and say yes to none of the three. The yeses on the last question are exactly the lie-first alternaters, so there are of them.
The second question’s yeses are the liars plus these so there are liars. The first question’s yeses are truth-tellers plus liars plus the so the truth-tellers number
Truth-tellers answer yes only to the first question, receiving one candy each, for pieces.
Thus, the correct answer is A.
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