Question

Si $a,$ $b,$ $c,$ $d$ son números reales positivos tales que $a,$ $b,$ $c,$ $d$ forman una progresión aritmética creciente y $a,$ $b,$ $d$ forman una progresión geométrica, entonces $\dfrac{a}{d}$ es

If $a,$ $b,$ $c,$ $d$ are positive real numbers such that $a,$ $b,$ $c,$ $d$ form an increasing arithmetic sequence and $a,$ $b,$ $d$ form a geometric sequence, then $\dfrac{a}{d}$ is

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Sea $b=a+r,$ $c=a+2r,$ $d=a+3r.$ La condición geométrica $b^2=ad$ da $(a+r)^2=a(a+3r),$ es decir $r^2=ar,$ así que $r=a.$

Entonces $d=a+3a=4a$ y $\dfrac{a}{d}=\dfrac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $b=a+r,$ $c=a+2r,$ $d=a+3r.$ The geometric condition $b^2=ad$ gives $(a+r)^2=a(a+3r),$ i.e. $r^2=ar,$ so $r=a.$

Then $d=a+3a=4a$ and $\dfrac{a}{d}=\dfrac14.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años