Question

Una circunferencia tiene centro $(-10, -4)$ y radio $13.$ Otra circunferencia tiene centro $(3, 9)$ y radio $\sqrt{65}.$ La recta que pasa por los dos puntos de intersección de las dos circunferencias tiene ecuación $x + y = c.$ ¿Cuánto vale $c$ ?

A circle has center $(-10, -4)$ and radius $13.$ Another circle has center $(3, 9)$ and radius $\sqrt{65}.$ The line passing through the two points of intersection of the two circles has equation $x + y = c.$ What is $c?$

$3$

$3\sqrt{3}$

$4\sqrt{2}$

$6$

$\dfrac{13}{2}$

Solución:

Las circunferencias son $(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169$ y $(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65.$ Al desarrollar y restar la segunda de la primera se cancelan los términos $x^2$ y $y^2$ y se simplifica a $x + y = 3.$ Cualquier punto de intersección satisface esta ecuación, por lo que es la recta que pasa por ambos, y $c = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The circles are $(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169$ and $(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65.$ Expanding and subtracting the second from the first cancels the $x^2$ and $y^2$ terms and simplifies to $x + y = 3.$ Any intersection point satisfies this, so it is the line through both, and $c = 3.$

Thus, the correct answer is A.

2017 AMC 12B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años