Question

Un sector de tres cuartos de un círculo de radio $4$ pulgadas, junto con su interior, se puede enrollar para formar la superficie lateral de un cono circular recto pegando a lo largo de los dos radios mostrados. ¿Cuál es el volumen del cono en pulgadas cúbicas?

A three-quarter sector of a circle of radius $4$ inches together with its interior can be rolled up to form the lateral surface of a right circular cone by taping together along the two radii shown. What is the volume of the cone in cubic inches?

$3\pi \sqrt{5}$

$4\pi \sqrt{3}$

$3\pi \sqrt{7}$

$6\pi \sqrt{3}$

$6\pi \sqrt{7}$

Respuesta: C

Conceptos:cono volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

La longitud del arco del sector se convierte en la circunferencia de la base del cono.

The arc length of the sector becomes the circumference of the cone’s base

Pista grande:

El radio del sector $4$ se convierte en la generatriz; halla el radio de la base y luego la altura del cono.

The sector radius $4$ becomes the slant height; find the base radius, then the cone’s height

Solución:

La longitud del arco del sector es $\tfrac34 \cdot 2\pi \cdot 4 = 6\pi,$ que se convierte en la circunferencia de la base: $2\pi r = 6\pi,$ así que $r = 3.$

La generatriz es el radio del sector $4,$ así que la altura es $h = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}.$ El volumen es $\frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \cdot 9 \cdot \sqrt{7} = 3\pi\sqrt{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sector’s arc length is $\tfrac34 \cdot 2\pi \cdot 4 = 6\pi,$ which becomes the base circumference: $2\pi r = 6\pi,$ so $r = 3.$

The slant height is the sector radius $4,$ so the height is $h = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}.$ The volume is $\frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \cdot 9 \cdot \sqrt{7} = 3\pi\sqrt{7}.$

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 12B Problema 9

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años