Question

Sea $n$ el menor entero positivo tal que $n$ es divisible por $20,$ $n^2$ es un cubo perfecto, y $n^3$ es un cuadrado perfecto. ¿Cuántos dígitos tiene $n$ ?

Let $n$ be the smallest positive integer such that $n$ is divisible by $20,$ $n^2$ is a perfect cube, and $n^3$ is a perfect square. What is the number of digits of $n?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Solución:

Para ser el menor, $n$ usa solo los primos de $20,$ así que $n=2^a\cdot5^b$ con $a\ge2$ y $b\ge1.$

Como $n^2=2^{2a}5^{2b}$ es un cubo perfecto, $3\mid a$ y $3\mid b.$ Como $n^3=2^{3a}5^{3b}$ es un cuadrado perfecto, $2\mid a$ y $2\mid b.$ Por lo tanto $6\mid a$ y $6\mid b.$

La menor elección es $a=b=6,$ así que $n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,$ que tiene $7$ dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

To be smallest, $n$ uses only the primes of $20,$ so $n=2^a\cdot5^b$ with $a\ge2$ and $b\ge1.$

Since $n^2=2^{2a}5^{2b}$ is a perfect cube, $3\mid a$ and $3\mid b.$ Since $n^3=2^{3a}5^{3b}$ is a perfect square, $2\mid a$ and $2\mid b.$ Hence $6\mid a$ and $6\mid b.$

The smallest choice is $a=b=6,$ so $n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,$ which has $7$ digits.

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años